Element nierozkładalny

Element nierozkładalny – element nieodwracalny pierścienia całkowitego, który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch elementów nieodwracalnych, tzn. element $q$ pierścienia całkowitego $A$ jest nierozkładalny, gdy jest on nieodwracalny oraz jeżeli $q=ab$ dla pewnych elementów $a$ i $b$ pierścienia $A,$ to element $a$ albo element $b$ jest odwracalny^[1].

Przykład

Jeśli $K$ jest ciałem, to każdy wielomian liniowy jest nierozkładalny w pierścieniu $K[x].$ Na ogół, w pierścieniu $K[x]$ istnieją wielomiany nierozkładalne wyższych stopni, np. wielomian $x^{2}+x+1$ jest nierozkładalny w $\mathbb {Z} _{2}[x],\mathbb {Q} [x],\mathbb {R} [x].$

Własności

Każdy element stowarzyszony z elementem nierozkładalnym jest nierozkładalny.
Każdy element pierwszy jest nierozkładalny.
W pierścieniu noetherowskim każdy niezerowy, nieodwracalny element tego pierścienia można przedstawić jako iloczyn elementów nierozkładalnych.
W pierścieniu ideałów głównych $P$ element $q\in P$ jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, $(q)$ jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $P/(q)$ jest ciałem.