Elementy najmniejszy i największy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy najmniejszym, jeśli jest on mniejszy (lub równy) od każdego elementu zbioru:

\forall y \in P : x \le y

Podobnie, element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy największym, jeśli jest on większy (lub równy) od każdego elementu zbioru:

\forall y \in P : y \le x

Z definicji wynika, że zarówno element największy jak i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru P.

Nie każdy zbiór częściowo uporządkowany ma element najmniejszy i największy. Np. zbiór liczb naturalnych (bez zera) częściowo uporządkowany relacją podzielności – każda liczba jest "większa" od swych dzielników, tzn. m jest "mniejsze" od n jeśli jest dzielnikiem liczby n: m \preccurlyeq n \iff m|n – ma element najmniejszy (jest nim liczba 1, która dzieli każdą liczbę naturalną), ale nie ma największego (nie istnieje liczba naturalna, która dzieliłaby się przez każdą inną). [1]
Z drugiej strony zbiór liczb G=\{2, 3, 4, 6, 24\} uporządkowany według tej samej reguły nie ma elementu najmniejszego (brak w nim liczby, przez którą dzieliłaby się liczba 2 i liczba 3), za to ma element największy (jest nim liczba 24, która dzieli się przez każdą z pozostałych liczb zbioru G).

Nawet porządek liniowy nie gwarantuje istnienia elementów najmniejszego i największego, jeśli zbiór jest nieskończony:

  • zbiór liczb \{ 1, 2, 3 \} z naturalnym porządkiem \le ma oba te elementy: najmniejszym jest 1, największym 3;
  • zbiór liczb naturalnych \mathbb N = \{1, 2, 3, \dots\} ma element najmniejszy (jest nim 1), ale nie ma największego;
  • zbiór liczb całkowitych \mathbb Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} nie ma ani elementu najmniejszego ani największego;

aczkolwiek nieskończona moc zbioru nie przesądza o braku elementu najmniejszego lub największego: zbiór

ma element najmniejszy (zero) i największy (jedność), ale zbiory

  • Q_2 = \mathbb Q \cap (0,1) liczb wymiernych w przedziale otwartym o krańcach wymiernych (0,1) oraz
  • Q_3 = \mathbb Q \cap \left[\sqrt 2, \pi\right] w przedziale o krańcach niewymiernych

elementu najmniejszego ani największego nie mają.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Jednym z typowych przykładów częściowego porządku jest relacja zawierania się zbiorów w dowolnej przestrzeni topologicznej. W tym uporządkowaniu istnieje zarówno element najmniejszy jak i największy. Elementem najmniejszym jest zbiór pusty, gdyż zbiór pusty zawiera się w każdym podzbiorze przestrzeni. Elementem największym jest cała przestrzeń, gdyż każdy podzbiór przestrzeni zawiera się w tej przestrzeni.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Podobnie zdefiniowany porządek na zbiorze liczb naturalnych z zerem ma tak samo element najmniejszy 1, ale także element największy 0, bowiem zero jest podzielna przez każdą liczbę naturalną.