Energia potencjalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson
Elektrownie wodne wykorzystują energię potencjalną grawitacji spiętrzonej wody, zamieniając ją za pośrednictwem prądnic w energię elektryczną.
Gdy łucznik napina łuk, wykonuje pracę; energia biochemiczna łucznika zamienia się w energię potencjalną sprężystości w zgiętej części łuku. Gdy cięciwa zostaje puszczona, cięciwa działająca siłą na strzałę wykonuje na niej pracę. W ten sposób energia potencjalna łuku jest przemieniana w energię kinetyczną strzały.
Pole grawitacyjne Ziemi dla dużych odległości jest polem centralnym.

Energia potencjalnaenergia, jaką ma ciało lub układ ciał w zależności od położenia ciała (układu ciał) w przestrzeni. Pojęcie energii potencjalnej można wprowadzić jedynie wtedy, gdy ciało (układ ciał) oddziałuje z niezależnym od czasu polem sił potencjalnych[1].

Energia potencjalna występuje w różnego typu oddziaływaniach, np. grawitacyjnych, elektrycznych, sprężystych. Zgromadzoną w ciałach energię potencjalną wykorzystuje się w rozmaity sposób. Np. od czasów prehistorycznych wykorzystuje się energię potencjalną sprężystości zgromadzoną w napiętym łuku – dzięki tej energii możliwe jest wyrzucenie strzały na duże odległości. Współczesne elektrownie wodne zamieniają energię potencjalną spiętrzonej wody w energię elektryczną – przy minimalnym obciążeniu środowiska naturalnego. Zaś dokładne obliczenia energii potencjalnej pozwalają planować ilość paliwa potrzebnego np. do umieszczenia satelity na orbicie, czy planowaniu podróży na Marsa.

Definicja energii potencjalnej[edytuj]

W przypadku pojedynczego ciała energia potencjalna jest równa pracy, jaką trzeba by wykonać, przemieszczając ciało z ustalonego położenia do położenia . Ponieważ w ogólności siła zależy od położenia ciała w przestrzeni, to pracę tą trzeba wyrazić jako całkę po krzywej, po której dokonuje się przemieszczenia ciała[2]

gdzie jest siłą zewnętrzną równoważącą siłę pola w położeniu .

Z powyższej całki wynika, że wartość energii potencjalnej w ustalonym położeniu została ustalona jako wartość zerowa.

W przypadku układu n ciał energia potencjalna jest równa pracy, jaką trzeba wykonać, przemieszczając ciała z ustalonych położeń do położeń [3]; energia potencjalna w ustalonej konfiguracji ma wartość zerową[4].

Jeżeli układ ciał posiada stan równowagi trwałej w pewnej konfiguracji, to dla tej konfiguracji energia potencjalna układu ma minimum. Często ustala się zerową wartość energii potencjalna w tej konfiguracji.

Energia potencjalna grawitacji[edytuj]

Źródłem pola grawitacyjnego jest obiekt posiadający masę. W zależności od warunków zagadnienia rozpatruje się pole grawitacyjne jako pole jednorodne lub jako pole centralne.

W jednorodnym polu grawitacyjnym[edytuj]

Dla niezbyt dużych wysokości i niezbyt dużych odległości (znacznie mniejszych od promienia Ziemi) można przyjąć, że pole grawitacyjne Ziemi w rozpatrywanym obszarze jest jednorodnym polem o kierunku pionowym i zwrocie w dół. Za poziom odniesienia można przyjąć dowolny punkt. Wtedy wszystkie punkty na poziomie odniesienia mają zerową energię potencjalną.

Energia potencjalna ciała o masie m umieszczonego na wysokość h nad poziomem odniesienia jest równa pracy wykonanej przy podnoszeniu ciała z poziomu odniesienia na tę wysokość

gdyż siła jest stała, równa co do wartości ciężarowi ciała, czyli iloczynowi masy m i przyspieszenia ziemskiego.

W centralnym polu grawitacyjnym[edytuj]

W zagadnieniach, w których siła grawitacji nie jest stała podczas ruchu (np. w trakcie lotów kosmicznych na duże odległości, w oddziaływaniach między planetami, które znacznie zmieniają wzajemne odległości podczas ruchu wokół Słońca), trzeba uwzględnić niejednorodność pola grawitacyjnego.

Energia potencjalna na zewnątrz jednorodnej kuli[edytuj]

Siła zewnętrzna potrzebna do przemieszczenia ciała o masie m w polu grawitacyjnym ciała o znacznie większej masie M (będącej źródłem pola grawitacyjnego) ma postać:

gdzie:

– wektor położenia ciała o masie m, zaczepiony w środku ciała o masie M
r – odległość między środkiem ciała o masie M a ciałem o masie m (długość wektora )
Gstała grawitacyjna [N·m²·kg–2],
M – masa źródła pola grawitacyjnego [kg],
m – masa przenoszonego ciała [kg].

We wzorze na siłę jest znak , gdyż siła grawitacji jest skierowana przeciwnie do wektora (w kierunku źródła pola).

Jako położenie , dla którego energia z założenia ma wartość 0, najwygodniej jest przyjąć nieskończoność (tam siła grawitacji wynosi 0). Zgodnie z definicją energia potencjalna ciała w położeniu jest równa pracy potrzebnej do przeniesienia ciała z ustalonego punktu (w nieskończoności) do położenia :

Ponieważ wektor przemieszczenia , gdzie - przyrost wektora , to mamy:

Stąd:

czyli

Powyższy wzór jest słuszny dla r>0, oraz przy założeniu, że źródłem pola grawitacyjnego jest masa punktowa. Jeżeli źródłem pola grawitacyjnego jest kula o promieniu R, to powyżej przeprowadzone całkowanie jest słuszne na zewnątrz kuli.

Energia potencjalna wewnątrz jednorodnej kuli[edytuj]

Obliczając potencjał wewnątrz kuli skorzystamy z faktu, że siła grawitacyjna działająca na ciało umieszczone wewnątrz jednorodnej kuli pochodzi od masy tej części kuli, która jest bliżej środka niż miejsce, w którym wyznaczamy energię, czyli:

Wykonując do końca całkowanie otrzymuje się energię potencjalną wewnątrz kuli o masie M i promieniu R

Energia ma najmniejszą wartość w pobliżu środka kuli osiągając w granicy i rośnie proporcjonalnie do r'2, osiągając wartość na powierzchni kuli.

Energia potencjalna sprężystości[edytuj]

Energia potencjalna sprężystości jest energią układu poddanego działaniu siły sprężystości. Układem tym może być układ makroskopowy, np. ciało zawieszone na sprężynie albo układ mikroskopowy, np. drgająca cząsteczka, wykonująca niewielkie drgania od położenia równowagi, tak że siła powodująca ruch jest siłą sprężystą.

Jeżeli przemieszczenie układu odbywa się w kierunku os X układu współrzędnych, wtedy współrzędna wektora siły sprężystej wyraża się wzorem

gdzie:

przy czym znak "minus" jest dlatego, że siła jest zawsze skierowana przeciwnie do przemieszczenia.

Zgodnie z definicją energia potencjalna sprężystości jest równa pracy, jaką wykonuje siła zewnętrzna przeciwko sile sprężystości przy odkształcaniu układu od ustalonego stanu. Siła zewnętrzna jest skierowana przeciwnie do siły sprężystości i ma równą jej wartość, czyli . Przyjmując, że ustalonym stanem układu jest jego stan równowagi (wtedy x = 0), energię potencjalną wyraża wzór

Energia potencjalna sprężystości jest więc proporcjonalna do kwadratu odkształcenia x układu od położenia równowagi. Układ wytrącony od położenia równowagi i pozostawiony działaniu sił sprężystych będzie wykonywał drgania oscylacyjne: zmieniające się w czasie odkształcenie x(t) będzie oznaczać zmieniającą się w czasie jego energię potencjalną sprężystości.

Energia potencjalna a siła[edytuj]

Jeżeli znany jest rozkład przestrzenny energii potencjalnej danego układu ciał, to można wyznaczyć siłę działającą na to ciało (układ ciał) obliczając gradient energii potencjalnej

Punkty równowagi układu[edytuj]

Jeżeli dla pewnego położenia układu w przestrzeni (lub dla pewnej konfiguracji ) energia potencjalna osiąga lokalne ekstremum, to gradient energii potencjalnej zeruje się

czyli znikają siły działające na ciało. Położenie jest więc położeniem równowagi układu. Jeśli jest to minimum energii potencjalnej – równowaga jest trwała, gdyż nawet niewielkie odejście od powoduje pojawienie się siły, sprowadzającej układ do stanu równowagi; gdy energia potencjalna ma maksimum w , to równowaga jest nietrwała. Gdy energia potencjalna ma kilka lokalnych ekstremów, to oznacza, że układ może być w równowadze w więcej niż w jednym punkcie.

Przykład: Jak omówiono wyżej (por. Energia potencjalna sprężystości) układ poddany działaniu siły sprężystej ma energię potencjalną

Pochodna energii względem x wynosi

Pochodna zeruje się dla x = 0; w punkcie tym pochodna ma minimum absolutne. Wynika stąd, że układ drgający pod wpływem siły sprężystej ma dla x = 0 położenie równowagi trwałej. Rezultat ten jest zgodny z rzeczywistością - np. ciało na sprężynie wychylone od położenia równowagi zacznie wykonywać drgania; po pewnym czasie, zależnym od tłumienia, zatrzyma się w położeniu równowagi. Z przykładu tego widać, że warunek na minimum energii potencjalnej pozwala łatwo znaleźć punkty równowagi. Np. w przypadku oscylatora harmonicznego tłumionego bezpośrednie znalezienie punktu równowagi z równania ruchu układu wymagałoby rozwiązania złożonego równania różniczkowego (por. Ruch harmoniczny tłumiony).

Praca a energia potencjalna[edytuj]

Pracę potrzebną do przemieszczenia ciała od punktu A do punktu B można obliczyć jako różnicę energii potencjalnych tego ciała w punktach B i A

Jeżeli praca ta jest dodatnia, to ciała zyskuje energię potencjalną kosztem innej formy energii. W ten sposób można obliczyć np. energię potrzebną do przeniesienia satelity z powierzchni Ziemi do nieskończoności:

gdzie - promień Ziemi.

Przybliżenie wzoru na pracę w polu grawitacyjnym[edytuj]

Wzór na energię pola grawitacyjnego w postaci E=mgh (por. wyżej) jest przybliżeniem wzoru ogólnego na pracę w polu grawitacyjnym. Mianowicie, energia potencjalna na wysokości h jest równa pracy, potrzebnej do podniesienia ciała z poziomu odniesienia na wysokość h. Jako poziom odniesienia przyjmiemy promień Ziemi Rz:

Po dodaniu ułamków otrzyma się:

przy czym wykonane tu przybliżenie jest słuszne, gdy przesunięcie h ciała jest niewielkie wobec promienia Ziemi (Rz ≈ 6400 km, np. dla h=100 km popełniany błąd względny przybliżenia będzie wynosił 1,6%). Z prawa grawitacji Newtona wynika, że przyspieszenie, jakiego doznaje ciało o masie m pod wpływem siły grawitacji wynosi

Uwzględniając to otrzyma się

czyli wzór na energię potencjalną dla jednorodnego pola grawitacyjnego.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 64.
  2. C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman: Mechanika. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1993, s. 180-181.
  3. R. Resnick, D. Halliday: Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. Warszawa: PWN, 1974, s. 161-184.
  4. Energia potencjalna - WIEM, darmowa encyklopedia

Bibliografia[edytuj]

  1. W. Królikowski, W. RubinowiczMechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
  2. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. T. 1, PWN, Warszawa 1980, ISBN 830100987X.
  3. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, PWN, Warszawa 1984.
  4. C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, PWN, Warszawa 1973.