Entropia topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Entropia topologiczna reprezentuje wykładnicze tempo wzrostu liczby segmentów orbity układu dynamicznego odróżnianych z dowolnie dobrą, ale skończoną dokładnością. W tym sensie, entropia topologiczna opisuje w toporny, ale sugestywny sposób całkowitą wykładniczą złożoność struktury orbity poprzez jedną tylko liczbę. Układy chaotyczne wyróżniają się posiadaniem dodatniej entropii, a sama entropia topologiczna jest niczym innym jak tempem wzrostu orbit okresowych. Zatem stosownie jest patrzeć na entropię jak na ilościową miarę chaosu w układzie dynamicznym[1].

Metryka Bowena-Dinaburga[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie odwzorowaniem ciągłym w zwartej przestrzeni metrycznej z funkcją odległości

Zdefiniujmy ciąg rosnący metryk poczynając od dany wzorem:

Innymi słowy, jest odległością pomiędzy segmentami orbit oraz

Definicja entropii topologicznej[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie maksymalną liczbą punktów w parami odległych o co najmniej w metryce

O takim zbiorze mówimy, że jest -oddzielony. Punkty tej postaci generują maksymalną liczbę segmentów orbity długości które są odróżnialne z dokładnością do

Rozważmy wykładniczą prędkość wzrostu wielkości

Oczywiście liczba nie maleje wraz z więc możemy zdefiniować wielkość

Liczbę nazywamy entropią topologiczną odwzorowania

Własności entropii topologicznej[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli jest metryką na równoważną metryce to
  • Entropia topologiczna jest niezmiennikiem sprzężenia topologicznego.
  • Entropia topologiczna odwzorowań zwężających oraz izometrii jest zerowa.
  • Jeżeli jest domkniętym zbiorem f-niezmienniczym, to
  • Jeżeli gdzie są domkniętymi zbiorami f-niezmienniczymi, to
  • Jeżeli odwzorowanie jest faktorem odwzorowania to
  • gdzie zaś odwzorowanie dane jest wzorem:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Boris Hasselblatt, Anatole Katok: A first course in dynamics with a Panorama of Recent Developments, Cambridge University Press, 2003.