Entropia topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Entropia topologiczna reprezentuje wykładnicze tempo wzrostu liczby segmentów orbity układu dynamicznego odróżnianych z dowolnie dobrą, ale skończoną dokładnością. W tym sensie, entropia topologiczna opisuje w toporny ale sugestywny sposób całkowitą wykładniczą złożoność struktury orbity poprzez jedną tylko liczbę. Układy chaotyczne wyróżniają się posiadaniem dodatniej entropii, a sama entropia topologiczna jest niczym innym jak tempem wzrostu orbit okresowych. Zatem stosownie jest patrzeć na entropię jak na ilościową miarę chaosu w układzie dynamicznym.[1]

Metryka Bowena-Dinaburga[edytuj kod]

Niech będzie odwzorowaniem ciągłym w zwartej przestrzeni metrycznej z funkcją odległości .

Zdefiniujmy ciąg rosnący metryk , , poczynając od , dany wzorem:

Innymi słowy, jest odległością pomiędzy segmentami orbit oraz .

Definicja entropii topologicznej[edytuj kod]

Niech będzie maksymalną liczbą punktów w parami odległych o co najmniej w metryce .

O takim zbiorze mówimy, że jest -oddzielony. Punkty tej postaci generują maksymalną liczbę segmentów orbity długości , które są odróżnialne z dokładnością do .

Rozważmy wykładniczą prędkość wzrostu wielkości .

Oczywiście liczba nie maleje wraz z , więc możemy zdefiniować wielkość .

Liczbę nazywamy entropią topologiczną odwzorowania .

Własności entropii topologicznej[edytuj kod]

  • Jeśli jest metryką na równoważną metryce , to .
  • Jeżeli jest domkniętym zbiorem f-niezmienniczym, to .
  • Jeżeli , gdzie są domkniętymi zbiorami f-niezmienniczymi, to .
  • Jeżeli odwzorowanie jest faktorem odwzorowania , to .
  • , gdzie , , zaś odwzorowanie dane jest wzorem: .

Przypisy

  1. Boris Hasselblatt, Anatole Katok: A first course in dynamics with a Panorama of Recent Developments, Cambridge University Press, 2003.