Rozkład na czynniki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Faktoryzacja)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rozkład na czynniki lub faktoryzacja – proces w kategorii obiektów wyposażonej w produkt, tj. iloczyn (rozumiany być może w szerokim sensie), który dla danego obiektu matematycznego prowadzi do wskazania takich (pod)obiektów, których iloczyn jest równy Obiekty wynikowe nazywa się czynnikami lub dzielnikami (faktorami) obiektu

Zwykle wymaga się, by rozkład nie zawierał czynników, które mogą być z niego usunięte bez (istotnego) wpływu na wynik, tj. produkt mniejszej liczby obiektów da obiekt o tożsamej strukturze (lub nawet dokładnie ten sam obiekt). W szczególności unika się trywialnych rozwiązań postaci: obiekt i obiekt jednostkowy. Ważną cechą rozkładu na czynniki jest też jego jednoznaczność, która ma miejsce wtedy, gdy istnieje wyłącznie jeden rozkład obiektu (niezależny od użytej metody), zwykle z dodatkowymi wyłączeniami, np. kolejności czynników w rozkładzie w przypadku przemienności mnożenia.

Przez wyrażenie „rozkład na czynniki” rozumie się zazwyczaj rozkład na czynniki liczby całkowitej lub naturalnej (w drugim przypadku rozkład jest jednoznaczny, zachodzi równość; w pierwszym – z wyłączeniem/dokładnością do znaku czynników; w obu: nie uwzględniając kolejności czynników).

Liczby całkowite[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: liczby całkowite.

Faktoryzacja liczby całkowitej polega na znalezieniu takich liczb całkowitych że ich iloczyn jest równy danej liczbie: Domyślnie żąda się nietrywialności rozkładu: żaden z czynników nie może być równy 1 lub

Złożoność obliczeniowa[edytuj | edytuj kod]

O ile mnożenie jest bardzo prostą czynnością, to nie są znane żadne szybkie (działające w czasie wielomianowym względem ilości cyfr rozkładanej liczby) metody faktoryzacji. Na złożoności obliczeniowej faktoryzacji opiera się system kryptografii asymetrycznej RSA.

Przykład: mając dwie liczby 65 537 i 65 539, można szybko je pomnożyć, uzyskując 4 295 229 443. Jednak rozłożenie 4295 229 443 na czynniki jest trudne. Wszystkie znane algorytmy działają w czasie wykładniczym wobec długości rozkładanej liczby.

Algorytmy faktoryzacji[edytuj | edytuj kod]

Najprostsza metoda polega na próbie dzielenia faktoryzowanej liczby przez wszystkie liczby pierwsze od 2 do Algorytm ten dobrze nadaje się do tego, żeby zacząć faktoryzować liczbę – losowa liczba ma zarówno małe, jak i duże czynniki. Połowa liczb dzieli się przez 2, co trzecia przez 3, co piąta przez 5 itd. Jeśli więc faktoryzowana liczba jest losowa, można z bardzo dużym prawdopodobieństwem pozbyć się szybko niskich czynników, po czym skończyć faktoryzację innym algorytmem. W najgorszym przypadku ( jest iloczynem dwóch liczb pierwszych podobnej wielkości, jak w RSA) algorytm ten zajmie bardzo dużo czasu.

Niektóre algorytmy opierają się na znajdowaniu takiej pary liczb i gdzie że:

Czyli albo albo albo ma wspólne dzielniki z oraz a zatem sfaktoryzowaliśmy

Najprostszą metodą tego typu jest sprawdzanie dla losowych liczb czy jest kwadratem (zwykłym, nie modulo). Można szybko znaleźć faktoryzację niektórych liczb, ale ogólnie metoda ta nie jest dużo lepsza od prób dzielenia.

O wiele lepszym sposobem jest wybranie zestawu małych liczb pierwszych i próby faktoryzacji kwadratów kolejnych losowanych liczb, używając tylko tych liczb pierwszych – jeśli faktoryzacja się nie powiedzie należy odrzucić wylosowaną liczbę, jeśli się powiedzie trzeba zachować i wykładniki:

a właściwie ich parzystości. Jeśli wybierze się zbyt duży zestaw liczb pierwszych, zwiększy to niepotrzebnie ilość obliczeń, jeśli wybierze zbyt mały – odrzuci zbyt dużo liczb.

Po uzbieraniu wystarczająco wielu relacji tego typu wybiera się taki podzbiór że wszystkie potęgi po prawej stronie są parzyste (dlatego nie zachowuje się dokładnych wykładników, a jedynie ich parzystości). Nie trzeba sprawdzać wszystkich możliwych zestawów – znalezienie właściwego jest relatywnie prostym problemem równoważnym odwracaniu macierzy.

Otrzymuje się wtedy:

gdzie to iloczyn odpowiednich a to iloczyn odpowiednich w potędze będącej połową sumy potęg dla znajdujących się po lewej stronie. Z prawdopodobieństwem 50% (dla będącego iloczynem 2 liczb) lub większym (dla mającego więcej czynników) liczby te są nietrywialną taką parą Jeśli tak nie jest, można próbować znaleźć inny zestaw liczb których iloczyn ma parzyste wykładniki.

Większość zaawansowanych algorytmów rozkładu na czynniki pierwsze polega na znajdowaniu liczb o dobrych rozkładach w znacznie krótszym czasie.

Wielomiany[edytuj | edytuj kod]

Faktoryzacja wielomianu to znalezienie takich wielomianów, że ich iloczyn jest równy danemu. W tym wypadku rozwiązanie nietrywialne nie może zawierać wielomianu o tym samym stopniu, co wielomian faktoryzowany. Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem algebry dowolny wielomian o stopniu nad ciałem liczb zespolonych można rozłożyć na iloczyn wielomianów 1. stopnia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]