Fala kulombowska

Fala kulombowska, kulombowska funkcja falowa – matematyczne rozwiązanie równania falowego Coulomba, używane w mechanice kwantowej do opisu elektrycznie naładowanych cząstek poruszających się w obszarze potencjału kulombowskiego. Jej nazwa pochodzi od Charlesa Coulomba, twórcy prawa Coulomba. Ogólna postać fali kulombowskiej może być zapisana przy pomocy funkcji specjalnych.

Równanie falowe Coulomba

Równaniem falowym Coulomba nazywane jest równanie Schrödingera niezależne od czasu opisujące naładowaną cząstkę w obszarze potencjału kulombowskiego wytwarzanego przez ładunek punktowy

$\left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z_{1}Z_{2}\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {r}}),$

gdzie:

$Z_{1}$ i $Z_{2}$ – ładunki poruszającej się cząstki oraz źródła potencjału,

${\vec {k}}$ – wektor falowy cząstki,

$\alpha$ – stała struktury subtelnej,

$c$ – prędkość światła.

Wyrażenie $\hbar ^{2}k^{2}/(2m)$ opisuje energię cząstki i jest tożsame z wyrażeniem na energię cząstki swobodnej, ponieważ równanie falowe Coulomba opisuje stan niezwiązany kulombowsko.

Równanie to można rozwiązać przechodząc do współrzędnych eliptycznych, w których

$\xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ({\hat {k}}={\vec {k}}/k).$

Jego rozwiązanie zależy od zastosowanych warunków brzegowych. Stosując warunki brzegowe, przy których dla dostatecznie dużych odległości pomiędzy cząstką a źródłem potencjału funkcja falowa cząstki ma asymptotykę fali płaskiej

$\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\to e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\to \pm \infty ),$

otrzymuje się dwa rozwiązania

$\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}),$

gdzie:

$\Gamma (z)$ – funkcja gamma,

$M(a,b,z)$ – funkcja Whittakera (konfluentna funkcja hipergeometryczna pierwszego rodzaju),

$\eta =Zmc\alpha /(\hbar k).$

Dwa możliwe znaki opisują stany cząstki odpowiednio zbliżającej się lub oddalającej się od źródła pola; rozwiązania te są ze sobą związane relacją

$\psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}.$

Rozkład na fale parcjalne

Fala kulombowska może być przedstawiona w postaci rozwinięcia na harmoniki sferyczne przemnożone przez odpowiadające im funkcje radialne (zależne wyłącznie od odległości) $w_{\ell }(\eta ,kr)$

$\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,kr)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}}),$

podobnie jak ma się to w przypadku rozwinięcia na harmoniki sferyczne fali płaskiej (rolę funkcji radialnych spełniają w tym przypadku sferyczne funkcje Bessela).

$e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}=4\pi \sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }j_{\ell }(kr)Y_{\ell }^{m}{}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m*}({\hat {k}}).$

Wyrażenie na poszczególną falę parcjalną można otrzymać poprzez iloczyn skalarny fali kulombowskiej i harmoniki sferycznej odpowiadającej danej składowej

$\psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),$

$R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.$

Poszczególne fale parcjalne można także uzyskać poprzez rozwiązanie zmodyfikowanego równania falowego Coulomba, w którym laplasjan zapisano we współrzędnych sferycznych, a całe równanie wyrzutowano na moment pędu $\ell$ odpowiadający danej harmonice sferycznej

${\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0,$

gdzie $\rho =kr.$ Rozwiązania tego równania noszą także nazwę sferycznych funkcji kulombowskich.

Własności fal kulombowskich

Ponieważ fale kulombowskie opisują stany należące do spektrum ciągłego hamiltonianu (wektor falowy może przyjmować dowolną wartość), nie są całkowalne w kwadracie, a więc i normalizowalne. Ortonormalne są jednak ich składowe radialne odpowiadające temu samemu momentowi pędu. Funkcje $R_{k\ell }(r)$ zdefiniowane w poprzednim rozdziale są ortonormalne w postaci

${\frac {k^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k').$

W przypadku atomów i molekuł, fale kulombowskie stanowią wektory własne hamiltonianu (atomowego lub molekularnego) z dodatnimi wartościami własnymi (wartościami energii). Z tego powodu są ortogonalne do wszystkich stanów związanych

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0.$

W przypadku atomu wodoru stany związane (orbitale) i niezwiązane kulombowsko tworzą razem bazę zupełną w przestrzeni Hilberta.

Zastosowanie fal kulombowskich

Fale kulombowskie zostały wprowadzone latach 30. XX wieku do opisu rozpraszania naładowanych cząstek pod wpływem odpychania kulombowskiego. Znajdują zastosowane w fizyce atomowej i chemii kwantowej, m.in. w opisie procesów fotojonizacji i generacji wyższych harmonik przez atomy i molekuły w silnych polach laserowych.