Filtr (teoria zbiorów)

Rodzina ${\mathcal {F}}$ podzbiorów zbioru $X$ jest filtrem podzbiorów zbioru $X$ jeśli są spełnione następujące warunki:

(i) Jeśli $A\subseteq B\subseteq X$ i $A\in {\mathcal {F}},$ to również $B\in {\mathcal {F}}.$

(ii) Część wspólna skończonej liczby elementów rodziny ${\mathcal {F}}$ należy do ${\mathcal {F}}.$

(iii) $\varnothing \notin {\mathcal {F}}$.

Z aksjomatu (ii) i (iii) wynika, że przecięcie dowolnej skończonej liczby zbiorów rodziny ${\mathcal {F}}$ jest niepuste.

Aksjomat (ii) jest równoważny dwóm następującym:

(ii₁) Jeśli $A,B\in {\mathcal {F}},$ to $A\cap B\in {\mathcal {F}},$

(ii₂) Zbiór $X$ należy do ${\mathcal {F}}$.

Przykłady

• Każdy filtr ${\mathcal {F}}$ w zbiorze skończonym $X$ jest rodziną podzbiorów $X$ zawierającą ustalony zbiór $A\subset X.$ Zbiór $A$ jest zbiorem filtra ${\mathcal {F}}$ o najmniejszej liczbie elementów. Gdyby jakikolwiek inny element filtra nie zawierał zbioru $A,$ to jego część wspólna z $A$ byłaby albo zbiorem pustym albo zbiorem o mniejszej liczbie elementów, co przeczy założeniu o zbiorze $A.$
• Zbiór wszystkich otoczeń niepustego zbioru w przestrzeni topologicznej $X$ jest filtrem. W szczególności zbiór otoczeń punktu jest filtrem.
• Jeśli $X$ jest zbiorem nieskończonym, to dopełnienia do jego skończonych podzbiorów tworzą filtr nazywany filtrem Frecheta.
• Częścią wspólną filtrów ${\mathcal {F}}_{1}$ i ${\mathcal {F}}_{2}$ danych w tym samym zbiorze $X$ jest zbiór wszystkich sum $M\cup N,$ gdzie $M\in {\mathcal {F}}_{1}$ i $N\in {\mathcal {F}}_{2}.$

Porównanie filtrów

Niech ${\mathcal {F}}_{1}$ i ${\mathcal {F}}_{2}$ będą filtrami w danym zbiorze $X.$ Filtr ${\mathcal {F}}_{2}$ majoryzuje filtr ${\mathcal {F}}_{1}$ (albo ${\mathcal {F}}_{1}$ minoryzuje ${\mathcal {F}}_{2}$), gdy ${\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {F}}_{2}.$ Jeśli ponadto ${\mathcal {F}}_{1}\neq {\mathcal {F}}_{2},$ to mówi się, że ${\mathcal {F}}_{2}$ jest silniejszy od ${\mathcal {F}}_{1},$ albo że ${\mathcal {F}}_{1}$ jest słabszy od ${\mathcal {F}}_{2}$.

Dwa filtry, z których jeden majoryzuje drugi, nazywają się filtrami porównywalnymi. Zbiór wszystkich filtrów w ustalonym zbiorze $X$ jest uporządkowany przez relację majoryzacji. Relacja ta jest relacją indukowaną przez relację inkluzji w zbiorze podzbiorów zbioru potęgowego $\wp (\wp (X)).$

Własności

• Najmniejszym filtrem w zbiorze $X$ jest filtr jednoelementowy $\{X\}.$
• Dla każdego niepustego zbioru filtrów $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I},$ część wspólna

${\mathcal {F}}=\bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$

jest filtrem, który jest w szczególności kresem dolnym zbioru $\{{\mathcal {F}}_{i}:i\in I\}$ w zbiorze wszystkich filtrów w $X,$ uporządkowanym przez inkluzję.

• Aby w $X$ istniał filtr ${\mathcal {F}}_{S}$ zawierający daną rodzinę zbiorów $S\subseteq \wp (X)$ potrzeba i wystarcza, aby część wspólna każdej skończonej liczby zbiorów z $S$ była niepusta. Mówi się wówczas, że filtr ${\mathcal {F}}_{S}$ jest generowany przez zbiór $S,$ a zbiór $S$ jest układem generatorów filtru ${\mathcal {F}}_{S}$.
• Aby istniał filtr ${\mathcal {F}}_{1}$ w zbiorze $X$ majoryzujący filtr ${\mathcal {F}},$ który zawiera zbiór $A\subseteq X$ potrzeba i wystarcza, aby zbiór $A$ miał niepuste przecięcie z każdym zbiorem z filtru ${\mathcal {F}}$.

Baza filtra

Zbiór ${\mathcal {B}}$ podzbiorów zbioru $X$ nazywa się bazą generowanego przez siebie filtra, jeśli:

• Część wspólna dowolnych dwóch elementów zbioru ${\mathcal {B}}$ zawiera pewien zbiór ${\mathcal {B}}.$
• ${\mathcal {B}}$ jest zbiorem niepustym, a pusty podzbiór zbioru $X$ nie należy do ${\mathcal {B}}$.

Własności bazy filtra

• Aby podzbiór ${\mathcal {B}}$ filtra ${\mathcal {F}}$ był jego bazą potrzeba i wystarcza, aby każdy zbiór należący do ${\mathcal {F}}$ zawierał pewien zbiór z ${\mathcal {B}}$.
• Aby filtr ${\mathcal {F}}'$ w $X$ o bazie ${\mathcal {B}}'$ majoryzował filtr ${\mathcal {F}}$ w $X$ o bazie ${\mathcal {B}}$ potrzeba i wystarcza, aby każdy zbiór należący do ${\mathcal {B}}$ zawierał pewien zbiór należący do ${\mathcal {B}}'$.

Minimalną ${\mathcal {F}}$ moc bazy filtru nazywa się charakterem filtru i oznacza symbolem $\chi ({\mathcal {F}})$ (por. diagram Cichonia).

Ultrafiltry

Ultrafiltr w zbiorze $X$ to każdy taki filtr w tym zbiorze, który nie jest majoryzowany przez żaden inny filtr właściwy w $X$.

Własności

• Każdy filtr ${\mathcal {F}}$ w zbiorze $X$ jest majoryzowany przez pewien ultrafiltr.

Dowód. Niech $\mathbb {R}$ oznacza rodzinę wszystkich filtrów właściwych zawierających ${\mathcal {F}}.$ Rodzina ta jest niepusta bo ${\mathcal {F}}\in \mathbb {R} .$ Niech ${\mathcal {L}}$ będzie łańcuchem w $\mathbb {R} .$ Rodzina $\cup {\mathcal {L}}$ jest właściwym filtrem w $X.$ Rzeczywiście, zbiór pusty nie należy do żadnego elementu rodziny ${\mathcal {L}},$ nie należy też zatem do $\cup {\mathcal {L}}.$ Niech $A,B\in \cup {\mathcal {L}}.$ Istnieje wówczas taki filtr ${\mathcal {F}}_{0},$ że $A,B\in {\mathcal {F}}_{0},$ skąd $A\cap B\in {\mathcal {F}}_{0}\subseteq \cup {\mathcal {L}}.$ Podobnie, jeżeli $A\in \cup {\mathcal {L}}$ oraz $B\supseteq A,$ to $B\in {\mathcal {F}}_{0}$ dla pewnego ${\mathcal {F}}_{0}\in {\mathcal {L}},$ czyli $B\in \cup {\mathcal {L}}.$ Pokazuje to, że $\cup {\mathcal {L}}$ jest filtrem właściwym. Z lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że w $\mathbb {R}$ istnieje element maksymalny.

• Niech ${\mathcal {F}}$ będzie filtrem w zbiorze $X.$ Wówczas ${\mathcal {F}}$ jest ultrafiltrem wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch podzbiorów $A,B$ zbioru $X,$ jeśli $A\cup B\in {\mathcal {F}},$ to $A\in {\mathcal {F}}$ lub $B\in {\mathcal {F}}$.
• Niech ${\mathcal {F}}$ będzie filtrem w zbiorze $X.$ Wówczas ${\mathcal {F}}$ jest ultrafiltrem wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $A\subseteq X$ albo $A\in {\mathcal {F}}$ albo $X\ A\in {\mathcal {F}}$.
• Każdy filtr jest częścią wspólną wszystkich majoryzujących go ultrafiltrów.
• Jeżeli $X$ jest niepustym zbiorem, to dla każdego $a\in X$ rodzina

${\mathcal {F}}_{a}=\{A\subseteq X:a\in A\}$

jest ultrafiltrem w $X,$ bo dla każdego zbioru $A\subseteq X$ dokładnie jeden ze zbiorów $A$ i $X\ A$ należy do ${\mathcal {F}}_{a}.$

Filtr indukowany

Jeśli ${\mathcal {F}}$ jest filtrem w zbiorze $X$ oraz $A\subset X,$ to zbiór ${\mathcal {F}}_{A}=\{Y\cap A:Y\in {\mathcal {F}}\}$ nazywany jest śladem tego filtra na zbiorze $A.$ Ślad ten jest filtrem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór rodziny ${\mathcal {F}}$ ma niepuste przecięcie ze zbiorem $A$ i nazywany jest wtedy filtrem indukowanym w $A$ przez ${\mathcal {F}}$.

Ultrafiltr ${\mathcal {U}}$ w zbiorze $X$ indukuje filtr ${\mathcal {U}}_{A}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\subset {\mathcal {U}}.$ Filtr ${\mathcal {U}}_{A}$ jest wtedy ultrafiltrem.

Własności

• Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, $A\subset X.$ Wtedy ślad na ${\mathcal {F}}_{A}$ filtra ${\mathcal {F}}$ otoczeń punktu $x\in X$ jest filtrem w zbiorze $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy punkt ten jest punktem skupienia zbioru $A.$
• Dla każdego filtra ${\mathcal {F}}$ w zbiorze $X$ niech $\omega \notin X$ oraz ${\mathcal {F}}'=\{M\cup \{\omega \}:M\in {\mathcal {F}}\}.$ W zbiorze $X'=X\cup \{\omega \}$ określmy bazę otoczeń dowolnego punktu $x\in X$ jako rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru $X'$ zawierających ten punkt, a bazą otoczeń punktu $\omega$ niech będzie ${\mathcal {F}}'.$ Określają one topologię na $X',$ a ${\mathcal {F}}$ jest filtrem indukowanym przez filtr ${\mathcal {F}}'$ otoczeń punktu $\omega .$ Topologia w $X'$ nazywana jest topologią skojarzoną z filtrem ${\mathcal {F}}.$

Filtr elementarny

Filtrem elementarnym skorelowanym z ciągiem $(x_{n})$ elementów zbioru $X$ jest rodzina zbiorów $M\subset X$ zawierających wszystkie elementy tego ciągu z wyjątkiem skończonej ich liczby. Bazą tego filtru jest rodzina zbiorów $S_{p}=\{x_{n}:n>p\}$ dla $p\in \mathbb {Z} _{+}.$ Zatem każdy filtr elementarny ma bazę przeliczalną.

Własności

• Filtr elementarny skorelowany z podciągiem ciągu $(x_{n})$ majoryzuje filtr elementarny skorelowany z ciągiem $(x_{n})$.
• Jeśli filtr ${\mathcal {F}}$ ma bazę przeliczalną, to jest częścią wspólną wszystkich majoryzujących go filtrów elementarnych.
• Filtr dopełnień podzbiorów skończonych nieskończonego zbioru $X$ jest częścią wspólną wszystkich filtrów elementarnych skorelowanych z ciągami nieskończonymi złożonymi z różnych elementów $X.$

Filtr w przestrzeni topologicznej

Granica filtra

Jeśli ${\mathcal {F}}$ jest filtrem w przestrzeni topologicznej $X,$ to mówi się, że punkt $x\in X$ jest granicą tego filtra (lub że filtr ten jest zbieżny do tego punktu), jeśli ${\mathcal {F}}$ majoryzuje filtr ${\mathcal {B}}(x)$ otoczeń punktu $x.$

Jeśli ${\mathcal {B}}$ jest bazą filtra ${\mathcal {F}},$ to punkt $x$ nazywany jest granicą tej bazy, jeśli jest granicą filtra przez tę bazę generowanego.

Własności

• Jeśli filtr ${\mathcal {F}}$ jest zbieżny do $x,$ to każdy filtr majoryzujący ${\mathcal {F}}$ jest także zbieżny do $x.$
• Jeśli filtr jest zbieżny w pewnej topologii, to jest zbieżny także w każdej topologii słabszej.
• W pewnej przestrzeni topologicznej $X$ filtr ${\mathcal {F}}$ jest zbieżny do $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ultrafiltr majoryzujący ${\mathcal {F}}$ jest zbieżny do $x.$

Punkt skupienia bazy filtra

Punkt przestrzeni topologicznej $X$ nazywany jest punktem skupienia bazy ${\mathcal {B}}$ filtra ${\mathcal {F}}$ w tej przestrzeni, jeśli jest punktem skupienia każdego zbioru tej bazy. Punk taki jest punktem skupienia samego filtra ${\mathcal {F}}$.

Punkt $x\in X$ jest punktem skupienia filtra ${\mathcal {F}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje filtr majoryzujący ${\mathcal {F}}$ i zbieżny do $x.$ Oznacza to, że istnieje filtr, który majoryzuje jednocześnie ${\mathcal {F}}$ i filtr otoczeń punktu $x.$ Dla ultrafiltra punkt jest jego punktem skupienia wtedy i tylko wtedy, gdy jest jego granicą.

Zbiór wszystkich punktów skupienia bazy filtra jest zbiorem domkniętym.

Własności

• W przestrzeni Hausdorffa każdy filtr ma co najwyżej jedną granicę. Jeśli w przestrzeni topologicznej każdy filtr ma nie więcej niż jedną granicę, to przestrzeń ta jest przestrzenią Hausdorffa.
• Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy granica filtra zbieżnego jest jego jedynym punktem skupienia.

Granica funkcji względem filtra

Jeśli $f\colon X\to Y$ jest odwzorowaniem zbioru $X$ w przestrzeń topologiczną $Y$ i ${\mathcal {F}}$ jest filtrem w zbiorze $X,$ to punkt $y\in Y$ nazywany jest granicą funkcji $f$ względem filtra ${\mathcal {F}}$, jeśli baza filtra $f({\mathcal {F}})$ jest zbieżna do $y.$ Zapisuje się to jako $y=\lim _{x,{\mathcal {F}}}f(x)$ lub, jeśli nie prowadzi to do nieporozumień, jako $y=\lim _{x}f(x).$

Aby $y\in Y$ było granicą funkcji $f$ względem filtra ${\mathcal {F}}$ potrzeba i wystarcza, aby dla dowolnego otoczenia $V$ punktu $y$ w przestrzeni $Y$ istniał taki zbiór $M\in {\mathcal {F}},$ że $f(M)\subset V.$

Granica i ciągłość funkcji

Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami topologicznymi, $f\colon X\to Y,$ a ${\mathcal {B}}$ jest filtrem otoczeń punktu $a\in X,$ to punkt $y\in Y$ nazywamy granicą funkcji $f$ w punkcie $a,$ jeśli

$y=\lim _{\mathcal {B}}f(x)=\lim _{x\to a}f(x)$.

Funkcja $f\colon X\to Y$ jest ciągła w punkcie $a\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y=\lim _{x\to a}f(x)$.

Kiełki względem filtra

Niech ${\mathcal {F}}$ będzie filtrem w zbiorze $X.$ Wtedy w zbiorze ${\mathcal {P}}(X)$ wszystkich podzbiorów zbioru $X$ można określić relację $\rho {:}$

$M\rho N\Leftrightarrow \exists _{U\in {\mathcal {F}}}M\cap U=N\cap U.$

Relacja ta jest relacją równoważności. Klasa równoważności $\xi =[M]_{\rho }$ zbioru $M\subset X$ nazywana jest kiełkiem zbioru względem filtra ${\mathcal {F}},$ a zbiór ilorazowy ${\mathcal {P}}(X)/\rho$ – zbiorem kiełków podzbiorów zbioru $X$ względem filtra ${\mathcal {F}}$.

Suma zbiorów i ich część wspólna są zgodne z relacją $\rho {:}$

$[M\cup N]_{\rho }=[M]_{\rho }\cup [N]_{\rho },$

$[M\cap N]_{\rho }=[M]_{\rho }\cap [N]_{\rho }.$

Dlatego operacje te indukują na zbiorze kiełków operacje sumy i części wspólnej kiełków. Dla dwóch kiełków $\xi ,\eta$ można zdefiniować relację:

$\xi \subset \eta \Leftrightarrow \xi =\xi \cap \eta ,$

która jest relacją częściowego porządku na zbiorze ${\mathcal {P}}(X)/\rho .$ Względem tej relacji zbiór ${\mathcal {P}}(X)/\rho$ jest kratą, której najmniejszym elementem jest kiełek $\varnothing =[\varnothing ]_{\rho },$ a największym elementem jest kiełek $[X]_{\rho }$.

Relacja $\xi \subset \eta$ oznacza, że istnieją takie zbiory $M\in \xi ,N\in \eta ,V\in {\mathcal {F}},$ dla których $M\cap V=N\cap V.$

Niech $X,X'$ będą zbiorami, a ${\mathcal {F}}$ będzie filtrem w $X.$ W zbiorze $\Phi =\{f\colon V\to X':V\in {\mathcal {F}}\}$ można określić relację równoważności $\sigma {:}$

$f\sigma g\Leftrightarrow \exists _{V\in {\mathcal {F}}}f|_{V}=g|_{V}.$

Klasy równoważności relacji $\sigma$ nazywane są kiełkami funkcji względem filtra, a zbiór ilorazowy ${\hat {\Phi }}=\Phi /\sigma$ zbiorem kiełków funkcji z $X$ w $X'$ względem filtra ${\mathcal {F}}.$

Przykłady

• W teorii funkcji rozpatruje się kiełki funkcji względem filtrów otoczeń punktu. Są one podstawowym narzędziem badania lokalnych własności funkcji różniczkowalnych, umożliwiającym algebraizację wielu problemów.
• W teorii funkcji zespolonych rozpatrywane są kiełki funkcji holomorficznych oraz snopy kiełków funkcji holomorficznych. Snopy umożliwiają badanie globalnych własności funkcji holomorficznych.