Filtr grzebieniowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Filtr grzebieniowy – jeden z podstawowych rodzajów filtrów stosowanych w przetwarzaniu sygnału. Jego działanie polega na dodawaniu sygnału do jego opóźnionej wersji, co powoduje wzmacnianie, bądź wygaszanie poszczególnych składowych częstotliwościowych poprzez zjawisko interferencji. W charakterystyce częstotliwościowej filtra grzebieniowego występują regularnie powtarzające się minima (ang. notch) nadające jej wygląd "grzebienia".

Zastosowania[edytuj]

Spośród licznych zastosowań filtrów grzebieniowych wymienić można:

  • Kaskadowe filtry całkująco-grzebieniowe (ang. cascaded integrator-comb filters, CIC), szeroko stosowane do zapobiegania aliasingowi w operacjach interpolacji i decymacji, zmieniających częstotliwość próbkowania w systemach czasu dyskretnego.
  • Filtry grzebieniowe 2D i 3D implementowane sprzętowo (rzadziej programowo) w dekoderach systemu PAL i NTSC. Ich zadaniem jest redukcja artefaktów typu "dot crawl".
  • Efekty dźwiękowe, takie jak np. echo czy flanger oraz falowodowa synteza dźwięku. Przykładowo, dla opóźnienia rzędu kilku milisekund, filtr grzebieniowy może być użyty do modelowania efektu akustycznej fali stojącej w cylindrycznej komorze rezonansowej bądź w drgającej strunie.
  • W astronomii, tzw. "astro-comb" może potencjalnie zwiększyć precyzję istniejących spektrografów niemal stokrotnie.

W akustyce, filtracja grzebieniowa występuje niekiedy samorzutnie (i zwykle jest niepożądana). Przykładowo, jeśli dwa głośniki odtwarzają ten sam sygnał w różnej odległości od słuchacza, wystąpi efekt filtracji grzebieniowej[1]. Ponadto, w każdej zamkniętej przestrzeni, słuchacz odbiera mieszaninę dźwięków bezpośrednich i odbitych od ścian, podłogi, sufitu, mebli i innych przedmiotów. Ponieważ dźwięk odbity przebywa dłuższą drogę do słuchacza, stanowi tym samym opóźnioną wersję dźwięku bezpośredniego, co również powoduje wystąpienie efektu filtracji grzebieniowej[2].

Szczegóły techniczne[edytuj]

Filtry grzebieniowe występują w dwóch podstawowych postaciach: bez sprzężenia zwrotnego i ze sprzężeniem zwrotnym i mogą być implementowane jako filtry cyfrowe bądź analogowe. Omówimy tu szczegółowo przypadek cyfrowy (przypadek analogowy opisuje się podobnie).

Filtr grzebieniowy bez sprzężenia zwrotnego[edytuj]

Schemat blokowy cyfrowego filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego (blok oznacza opóźnienie sygnału o próbek)

Ogólna struktura filtru tego typu przedstawiona jest na powyższym schemacie, a jego odpowiedź określa równanie różnicowe:

gdzie jest opóźnieniem (mierzonym liczbą próbek), zaś jest współczynnikiem skalującym określającym stopień wzmocnienia/wygaszenia sygnału opóźnionego.

Stosując transformację do obu stron tego równania mamy:

skąd obliczamy transmitancję:

Charakterystyka częstotliwościowa[edytuj]

Charakterystykę częstotliwościową układu dyskretnego otrzymujemy rozważając jego funkcję transmitancji dla argumentów leżących na okręgu jednostkowym w dziedzinie , tj. dla . A zatem, dla naszego filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego otrzymujemy:

Stosując wzór Eulera mamy równoważnie:

Obliczając moduł powyższego wyrażenia otrzymamy charakterystykę amplitudową filtru:

skąd ostatecznie:

Zauważmy, że składnik jest stały, podczas gdy zmienia się okresowo wraz ze zmianą . A zatem odpowiedź amplitudowa filtru grzebieniowego jest okresowa, z okresem .

Przykłady[edytuj]

Na poniższym rysunku przedstawiono charakterystykę amplitudową filtru grzebieniowego dla i kilku wybranych wartości . Jednostką osi odciętych jest znormalizowana częstotliwość (a zatem wartości odpowiada częstotliwość próbkowania sygnału dyskretnego, a wartości częstotliwość Nyquista).

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego dla i dodatnich wartości parametru

Zauważmy, że dla naszego przykładu (, ) pierwsze minimum charakterystyki filtru występuje w punkcie , co odpowiada sygnałowi o okresie czterech próbek (tzn. o częstotliwości mniejszej niż częstotliwość próbkowania). Istotnie, jeśli uwzględnimy fakt, że opóźnienie o próbki oznacza dla tego sygnału po prostu odwrócenie fazy, to łatwo zauważymy, iż po zsumowaniu z sygnałem oryginalnym otrzymamy sygnał zerowy (dla ). Dla uzyskane wygaszenie sygnału będzie częściowe.

Dla sygnału o maksymalnej częstotliwości (połowa częstotliwości próbkowania, i.e. dwie próbki na okres) jego opóźnienie o próbki daje sygnał oryginalny, a zatem dla na wyjściu sumatora otrzymamy sygnał o dwukrotnie większej amplitudzie. Odpowiada to widocznemu maksimum charakterystyki dla .

Na kolejnym rysunku zaprezentowano przypadek gdy .

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego dla i ujemnych wartości parametru

Zauważmy, że minima charakterystyki odpowiadają maksimom z rysunku (dla ) i vice versa. Dla minima występują dla częstotliwości:

gdzie to częstotliwość próbkowania sygnału.

Zauważmy też, że wartości w minimach i maksimach charakterystyki amplitudowej są równoodległe od jedności, a w przypadku gdy minima osiągają wartość zero.

Odpowiedź impulsowa[edytuj]

Filtr grzebieniowy bez sprzężenia zwrotnego jest jednym z najprostszych filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej[3]. Jego odpowiedź impulsowa składa się po prostu z wyjściowego impulsu powtórzonego po próbkach.

Bieguny i zera transmitancji[edytuj]

Rozważając licznik i mianownik funkcji transmitancji filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego:

widzimy, że mianownik ma miejsce zerowe (biegun transmitancji) dla , zaś miejsca zerowe licznika (zera transmitancji) występują dla takich , dla których . Ich liczba wynosi dokładnie , jak widać na rysunkach poniżej, a ich położenia pokrywają się z minimami charakterystyki częstotliwościowej. Zauważmy, że dla zera transmitancji odpowiadają zespolonym pierwiastkom -tego stopnia z jedności.

Bieguny i zera transmitancji filtra grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego, dla i
Bieguny i zera transmitancji filtra grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego, dla i

Filtr grzebieniowy ze sprzężeniem zwrotnym[edytuj]

Schemat blokowy cyfrowego filtru grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym (blok oznacza opóźnienie sygnału o próbek)

Ten wariant filtru grzebieniowego charakteryzuje następujące równanie różnicowe:

Przekształcając to równanie tak, aby mieć wszystkie składniki zależne od sygnału wyjściowego po lewej stronie i stosując transformację do obu stron mamy:

skąd obliczamy transmitancję:

Charakterystyka częstotliwościowa[edytuj]

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym dla i dodatnich wartości parametru

Podstawiając we wzorze na transmitancję otrzymujemy charakterystykę częstotliwościową filtru ze sprzężeniem zwrotnym:

Analogicznie jak dla wersji bez sprzężenia zwrotnego, pamiętając że moduł odwrotności liczby zespolonej, to odwrotność modułu, otrzymujemy charakterystykę amplitudową:

Jest ona okresowa, podobnie jak w przypadku bez sprzężenia zwrotnego i podobnie jak tam maksima dla dodatnich wartości odpowiadają minimom dla ujemnych i vice versa. Dla maksima występują dla częstotliwości:

gdzie to częstotliwość próbkowania sygnału.

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym dla i ujemnych wartości parametru

W przeciwieństwie do filtru bez sprzężenia zwrotnego, wartości w minimach i maksimach charakterystyki amplitudowej nie są tu równoodległe od jedności (maksima przyjmują wartość ). Zauważmy też, że sprzężenie zwrotne powoduje, że filtr jest stabilny tylko dla , a wraz ze wzrostem wartości , od 0 do 1, amplituda maksimów gwałtownie rośnie.

Odpowiedź impulsowa[edytuj]

Filtr grzebieniowy ze sprzężeniem zwrotnym to prosty filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej[4]. Jeżeli jest stabilny, jego odpowiedź impulsowa składa się z ciągu powtarzających się impulsów o amplitudzie stopniowo malejącej wraz z czasem.

Bieguny i zera transmitancji[edytuj]

Z uwagi na postać wielomianu w mianowniku funkcji transmitancji:

widzimy, że jego miejsca zerowe (bieguny transmitancji) występują dla takich , dla których . Ich liczba wynosi dokładnie , jak widać na rysunkach poniżej, a ich położenia pokrywają się z maksimami charakterystyki częstotliwościowej. Dla bieguny transmitancji znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej, a zatem filtr jest stabilny. Licznik transmitancji przyjmuje wartość 0, gdy , co daje zer funkcji transmitancji w punkcie .

Bieguny i zera transmitancji filtra grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym, dla i
Bieguny i zera transmitancji filtra grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym, dla i

Analogowe filtry grzebieniowe[edytuj]

Filtr grzebieniowy może być również zdefiniowany jako układ z czasem ciągłym. Filtr bez sprzężenia zwrotnego opiszemy następująco:

gdzie opóźnienie wyrażone jest w sekundach (a nie w liczbie próbek, jak w przypadku dyskretnym). Transmitancja tego filtru:

charakteryzuje się występowaniem nieskończonej liczby zer wzdłuż osi . Filtr ze sprzężeniem zwrotnym:

posiada funkcję transmitancji w postaci:

charakteryzującą się występowaniem nieskończonej liczby biegunów wzdłuż osi .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. [1] Roger Russell. "Hearing, Columns and Comb Filtering". Retrieved 2010-04-22.
  2. [2] "Acoustic Basics", Acoustic Sciences Corporation. Retrieved 2010-04-22
  3. [3] Julius O. Smith, "Feedforward Comb Filters". Retrieved 2017-10-09.
  4. [4] Julius O. Smith, "Feedback Comb Filters". Retrieved 2017-10-09.