Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (ang. infinite impulse response, IIR) – rodzaj filtru cyfrowego, który w odróżnieniu od filtrów FIR jest układem rekursywnym. IIR oznacza nieskończoną odpowiedź impulsową (w polskiej literaturze stosowany jest również skrót NOI). Znaczy to tyle, że reakcja na pobudzenie o skończonym czasie trwania jest teoretycznie nieskończenie długa. Jest to efektem występowania pętli sprzężenia zwrotnego widocznej na schemacie blokowym (porównaj ze schematem filtru FIR).

Filtr IIR

Na powyższym schemacie moduły z^{-1} oznaczają opóźnienie sygnału o jedną próbkę, natomiast a_{i} oraz b_{i} są współczynnikami filtru.

Transmitancję filtru IIR można opisać:

H(z) = \frac{Y(z)} {X(z)}

gdzie: Y(z) – transformata Z wyjścia, X(z) – transformata Z wejścia

lub po rozpisaniu wzorów na wielomiany opisujące bieguny i zera:

H(z) = \frac{a_{0}+a_{1}z^{-1}+...+a_{p}z^{-p}} {1-(b_{0}z^{-1}+...+b_{q}z^{-q})}

Zera transmitancji determinowane są przez miejsca zerowe wielomianu licznika, zaś miejsca zerowe wielomianu mianownika określają bieguny transmitancji.

Zalety i wady[edytuj | edytuj kod]

Ze względu na dużą elastyczność w kształtowaniu przebiegu funkcji za pomocą ilorazu wielomianów, znacznie łatwiej uzyskać pożądaną charakterystykę używając filtru IIR niskiego rzędu niż filtru FIR. Wynikają z tego dwie podstawowe zalety filtrów IIR w porównaniu do FIR:

  • Niska złożoność obliczeniowa
  • Niewielkie zapotrzebowanie na pamięć operacyjną.

Te zalety spowodowały duże zainteresowanie filtrami IIR i burzliwy rozwój teorii ich projektowania w latach 70. XX w., które przypadają na początki rozwoju technik CPS, gdy nie były dostępne procesory o odpowiedniej mocy.

Do wad filtrów IIR należy zaliczyć:

  • Rekursywność filtru wprowadza potencjalne zagrożenie utraty stabilności (odpowiedź filtru w sposób niekontrolowany narasta do nieskończoności); niestabilność może mieć miejsce wtedy, gdy bieguny transmitancji (miejsca zerowe wielomianu w mianowniku) znajdą się poza okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej
  • Projektowanie filtrów IIR jest znacznie trudniejsze niż w przypadku filtrów FIR (nie tylko ze względu na dodatkowy warunek zapewnienia stabilności)
  • Filtry IIR są znacznie bardziej wrażliwe na błędy zaokrągleń: zaokrąglenia wartości współczynników mogą znacząco zmienić charakterystykę, zaokrąglenia wartości sygnału i wyników pośrednich wprowadzają szum, który może się akumulować
  • Nie da się ich zaimplementować jako filtrów o liniowej fazie, czyli takich, które wprowadzają takie samo opóźnienie grupowe dla wszystkich składowych częstotliwościowych przepuszczanego sygnału.

Z uwagi na rosnącą wydajność układów cyfrowych i procesorów sygnałowych, filtry IIR nie są obecnie tak chętnie wykorzystywane jak dawniej, a największą popularność mają filtry FIR, które nie mają wyżej wymienionych wad.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy działanie filtru o nieskończonej odpowiedzi impulsowej na prostym przykładzie. Załóżmy, że chcemy estymować średni koszt użytkowania energii elektrycznej na podstawie rachunku za prąd z bieżącego miesiąca x(n) oraz oszacowanej wartości z poprzedniego miesiąca y(n-1):

y(n) = \frac{y(n-1) + x(n)}{2} = 0{,}5\cdot y(n-1) + 0{,}5 \cdot x(n)

gdzie: n jest numerem miesiąca, x(n) wartością rachunku za bieżący miesiąc, y(n) oszacowaną wartością w bieżącym miesiącu, a y(n-1) oszacowaniem wartości średniej w poprzednim miesiącu.

Dla n=1, pojawia się problem brzegowy, ponieważ nie dysponujemy oszacowaniem y(0) - przyjmiemy, że y(0)=0. Przykładowo:

y(1) = 0{,}5\cdot x(1) + 0{,}5 \cdot y(0) = 0{,}5 \cdot 24 + 0{,}5 \cdot 0 = 12

y(2) = 0{,}5\cdot x(2) + 0{,}5 \cdot y(1) = 0{,}5 \cdot 12 + 0{,}5 \cdot 27 = 19{,}5

Wartości kolejnych próbek wejściowych x(n) (rachunków) oraz szacowanych wartości średnich y(n) przedstawiono w tabeli:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x(n) 24 27 31 59 33 37 0 0 0 0 0 0
y(n) 12 19,5 25,3 42,1 37,6 37,3 18,6 9,3 4,7 2,3 1,2 0,6

Wykres próbek wejściowych x(n) oraz wyjściowych y(n) przedstawiono na wykresie poniżej (sygnał określony jest tylko dla dyskretnych wartości n, natomiast linie pomagają zaobserwować trend sygnału):

Przykładowy uśredniający filtr NOI

Podobnie jak poprzednio, na podstawie przykładu można wysnuć następujące wnioski:

  • zaprojektowany filtr wygładza sygnał wejściowy - nagła zmiana sygnału wejściowego dla n=4 została stłumiona,
  • od chwili n=7 sygnał wejściowy x(n) zanika. Sygnał wyjściowy y(n) dąży do zera, aczkolwiek tej wartości nigdy nie osiągnie. Jest to cecha charakterystyczna filtrów o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI).

Realizację filtru przestawiono na rysunku poniżej:

Przykładowy uśredniający filtr NOI

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Bartosz Ziółko, M. Ziółko Przetwarzanie mowy, Wydawnictwa AGH, 2012.
  • Michał Tadeusiewicz, Signals and Systems, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004.
  • Przemysław Barański, Przekształcenie Z - zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów - zbiór zadań, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]