Filtracja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia terminu filtracja.

Filtracjarodzina indeksowana podstruktur ustalonej struktury (z uporządkowanym liniowo zbiorem indeksów), w której podstruktury o dalszych (większych) indeksach zawierają te o wcześniejszych (mniejszych). Tego rodzaju filtracje nazywa się niemalejącymi w opozycji do filtracji nierosnących, w których podstruktury o dalszych (większych) indeksach są zawarte w tych o wcześniejszych (mniejszych) indeksach.

Ścisłe definicja zależy od kontekstu i dziedziny matematyki, w której pojęcie to jest rozważane; zawsze jednak podstruktury tworzą łańcuch. Niżej omówione zostaną definicje i zastosowania w teorii miary i teorii prawdopodobieństwa, algebrze.

Probabilistyka[edytuj]

Przedstawione definicje wykorzystywane w rachunku prawdopodobieństwa wykorzystując pojęcia teorii miary uogólniają się mutatis mutandis na przestrzenie mierzalne/z miarą.

Niech oznacza pewien uporządkowany liniowo zbiór indeksów (zwykle przedział ), w tym wypadku interpretowany zwykle jako czas. Filtracją przestrzeni probabilistycznej nazywa się niemalejącą rodzinę σ-ciał zawartą w tzn.

dla oraz

Zdarzenia z σ-ciała można interpretować jako zdarzenia obserwowalne do chwili przy czym, zgodnie z intuicją, dostępna wiedza rośnie z czasem (informacje w niej zawarte nie ulegają zmianie, ale stają się jedynie bardziej szczegółowe).

Jeśli jest procesem stochastycznym, to filtracją generowaną przez [a] nazywa się rodzinę daną wzorem

,

tzn. σ-ciało odpowiadające chwili jest generowane przez zdarzenia do chwili włącznie. Intuicyjnie filtracja zawiera wyłącznie informacje o samym procesie.

Proces jest zgodny z filtracją lub adaptowany do filtracji >[b], gdy dla wszystkich zdarzenie jest mierzalne względem Sam proces jest zgodny z wtedy i tylko wtedy, gdy dla Oznacza to, że proces jest zgodny z filtracją, gdy w danym momencie zawiera ona wszystkie informacje o przebiegu procesu (choć może zawierać też dodatkowe). W szczególności każdy proces jest zgodny z generowaną przez siebie filtracją.

Niech Filtracja spełnia warunki zwykłe, gdy jest

  • prawostronnie ciągła: dla każdego zachodzi równość

oraz

  • zupełna: dla dowolnego przestrzeń probabilistyczna jest zupełna, tj. prawdopodobieństwo jest miarą zupełną w [c].

Algebra[edytuj]

Filtracją grupy nazywa się niemalejący (względem zawierania) ciąg jej podgrup, tzn.

zwykle nazywa się ją ciągiem podgrup tej grupy. Jeśli każda podgrupa jest normalna w kolejnej,

to ciąg nazywa się ciągiem normalnym (podobnie gdy każda podgrupa jest charakterystyczna w kolejnej ciąg nazywa się charakterystycznym itd.). Najczęściej wymaga się jednak, by wszystkie były normalne w grupie tj.

mówi się wtedy o ciągu podnormalnym podgrup grupy

Definicje te przenoszą się wprost na pierścienie (ciała), moduły, czy przestrzenie liniowe; w ostatnim przypadku filtracje znane są szerzej jako flagi, w pozostałych rozpatruje się również filtracje niemalejące (przytoczone definicje dla grup są przykładami filtracji nierosnących).

Uwagi

  1. W nomenklaturze anglojęzycznej znana jest jako filtracja naturalna względem
  2. W pozycjach anglojęzycznych mówi się też o procesach nieantycypujacych (nieprzewidujących).
  3. Tzn. zawiera wszystkie zdarzenia niemożliwe (zbiory miary zero), czyli dla wszystkich zbiorów dla których