Forma różniczkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania pracy, strumieni pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzących przez powierzchnię, potencjałów pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.

W dalszej części artykułu niech k będzie ustaloną liczbą naturalną (wymiarem przestrzeni dla której definiowane będą formy) oraz niech P będzie ustalonym domkniętym (zwartym) przedziałem wielowymiarowym w przestrzeni .

Definicja[edytuj]

k-płatem klasy Cr (ang. singular cube of k dimensions) w zbiorze nazywa się funkcję różniczkowalną klasy Cr, r ≥ 0. W przypadku, gdy k=0, to za przyjmuje się punkt w zbiorze . Wygodnie jest dokonywać utożsamienia , tzn. traktować jako parę złożoną ze zbioru argumentów P oraz odwzorowania klasy Cr pewnego otoczenia otwartego zbioru P (utożsamienie to nawiązuje do procesu parametryzacji krzywej na płaszczyźnie czy w przestrzeni).

Niech nk będzie liczbą naturalną oraz będą funkcjami klasy zmiennej . W przypadku, gdy zdefinujmy

.

Ponadto, niech będzie k-płatem w . Formą różniczkową (rzędu k albo k-formą) postaci

nazywa się funkcję , która płatowi przyporządkowuje liczbę

,

gdzie oznacza miarę Lebesgue'a w przestrzeni oraz . Oznaczając krótko , gdzie 0 ≤ imn oraz , formy różniczkowe można zapisywać krótko w postaci

.

Liczbę oznacza się krótko symbolem

i nazywa całką z formy względem . W przypadku, gdy k=1 całkę tę nazywa się po prostu całką krzywoliniową. Formy różniczkowe są funkcjami w zbiorze płatów, a więc można punktowo wprowadzić działania dodawania i mnożenia przez skalar form różniczkowych; innymi słowy rodzina form różniczkowych (przy ustalonych k i n) tworzy przestrzeń liniową.

Przykład[edytuj]

Niech będzie taką krzywą klasy C1 na płaszczyźnie, że

oraz niech dana będzie forma . Wówczas

.

Wartość całki krzywoliniowej w powyższym przypadku nie zależy od kształtu krzywej, a jedynie od jej punktów końcowych. W szczególności, całka po krzywej zamkniętej zeruje się.

Podstawowe własności[edytuj]

  • Wyrażenie zmienia znak na przeciwny przy zamianie sąsiednich symboli i .
  • Każdą formę różniczkową można sprowadzić do postaci kanonicznej, tzn. takiej postaci, że funkcje są, być może, różne od zera tylko dla . Bezpośrednią konsekwencją tego faktu jest warunek równości dwu form - dwie formy różniczkowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współczynniki w ich postaciach kanonicznych są równe. Ponadto, dla każda forma postaci jak wyżej jest równa zeru.

Iloczyn zewnętrzny form. Algebra Zewnętrzna[edytuj]

Jeżeli i są, odpowiednio, k- i m-formami postaci

,

to można wprowadzić tzw. iloczyn zewnętrzny form i , tzn. (k+m)-formę daną wzorem

.

Iloczyn zewnętrzny ma następujące własności:

  • ,
  • ,
  • Jeżeli jest k-formą, jest m-formą, to
.

Niech symbol oznacza zbiór wszystkich k-form na klasy C oraz

.

Oczywiście dla . jest domkniętny na dodawanie i mnożenie przez skalary (tworzy przestrzeń liniową wymiaru ). Ponadto, jest on domknięty na operację iloczynu zewnętrznego form wraz z którym tworzy algebrę, nazywaną algebrą zewnętrzną.

Różniczka zewnętrzna formy[edytuj]

Jeżeli jest 0-formą klasy C na , tzn. , gdzie jest funkcją klasy C na , to jej różniczką zewnętrzną (nazywaną również różniczką zupełną) nazywa się 1-formę postaci

.

Jeżeli natomiast jest k-formą (k>0) postaci

,

to jej różniczką zewnętrzną nazywa się (k+1)-formę postaci

.

Na mocy powyższego, operator różniczkowania zewnętrznego form jest odwzorowaniem . Operacja ta ma ponadto, następujące własności:

  • jeżeli jest k-formą, jest l-formą, to
,
  • jeżeli , to .

Bibliografia[edytuj]