Forma różniczkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania pracy, strumieni pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzących przez powierzchnię, potencjałów pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.

W dalszej części artykułu niech będzie ustaloną liczbą naturalną (wymiarem przestrzeni dla której definiowane będą formy) oraz niech będzie ustalonym domkniętym (zwartym) przedziałem wielowymiarowym w przestrzeni

Definicja[edytuj | edytuj kod]

k-płatem klasy (ang. singular cube of k dimensions) w zbiorze nazywa się funkcję różniczkowalną klasy W przypadku, gdy to za przyjmuje się punkt w zbiorze Wygodnie jest dokonywać utożsamienia tzn. traktować jako parę złożoną ze zbioru argumentów oraz odwzorowania klasy pewnego otoczenia otwartego zbioru (utożsamienie to nawiązuje do procesu parametryzacji krzywej na płaszczyźnie czy w przestrzeni).

Niech będzie liczbą naturalną oraz będą funkcjami klasy zmiennej W przypadku, gdy zdefiniujemy

Ponadto, niech będzie -płatem w Formą różniczkową (rzędu albo k-formą) postaci

nazywa się funkcję która płatowi przyporządkowuje liczbę

gdzie oznacza miarę Lebesgue’a w przestrzeni oraz Wzór można przedstawić w niesłychanie przejrzysty sposób za pomocą konwencji sumacyjnej Einsteina:

Oznaczając krótko gdzie oraz formy różniczkowe można zapisywać krótko w postaci

Liczbę oznacza się krótko symbolem

i nazywa całką z formy względem W przypadku, gdy całkę tę nazywa się po prostu całką krzywoliniową. Formy różniczkowe są funkcjami w zbiorze płatów, a więc można punktowo wprowadzić działania dodawania i mnożenia przez skalar form różniczkowych; innymi słowy rodzina form różniczkowych (przy ustalonych i ) tworzy przestrzeń liniową.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie taką krzywą klasy na płaszczyźnie, że

oraz niech dana będzie forma Wówczas

Wartość całki krzywoliniowej w powyższym przypadku nie zależy od kształtu krzywej, a jedynie od jej punktów końcowych. W szczególności, całka po krzywej zamkniętej zeruje się.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

  • Wyrażenie zmienia znak na przeciwny przy zamianie sąsiednich symboli i
  • Każdą formę różniczkową można sprowadzić do postaci kanonicznej, tzn. takiej postaci, że funkcje są, być może, różne od zera tylko dla Bezpośrednią konsekwencją tego faktu jest warunek równości dwu form – dwie formy różniczkowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współczynniki w ich postaciach kanonicznych są równe. Ponadto, dla każda forma postaci jak wyżej jest równa zeru.

Iloczyn zewnętrzny form. Algebra zewnętrzna[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli i są, odpowiednio, i -formami postaci

to można wprowadzić tzw. iloczyn zewnętrzny form i tzn. -formę daną wzorem

Iloczyn zewnętrzny ma następujące własności:

  • Jeżeli jest -formą, jest -formą, to

Niech symbol oznacza zbiór wszystkich -form na klasy oraz

Oczywiście dla jest domknięty na dodawanie i mnożenie przez skalary (tworzy przestrzeń liniową wymiaru ). Ponadto, jest on domknięty na operację iloczynu zewnętrznego form wraz z którym tworzy algebrę, nazywaną algebrą zewnętrzną.

Różniczka zewnętrzna formy[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest -formą klasy na tzn. gdzie jest funkcją klasy na to jej różniczką zewnętrzną (nazywaną również różniczką zupełną) nazywa się 1-formę postaci

Jeżeli natomiast jest -formą postaci

to jej różniczką zewnętrzną nazywa się -formę postaci

Na mocy powyższego, operator różniczkowania zewnętrznego form jest odwzorowaniem Operacja ta ma ponadto, następujące własności:

  • jeżeli jest -formą, jest -formą, to
  • jeżeli to

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]