Przejdź do zawartości

Forma wieloliniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Forma -liniowa, funkcjonał -liniowy, albo -tensor na przestrzeni liniowej nad ciałem to funkcja postaci

liniowa względem wszystkich swoich argumentów. Formy -liniowe stanowią uogólnienie form liniowych i dwuliniowych oraz jeden ze sposobów sformalizowania pojęcia tensora. Odgrywają bardzo ważną rolę w geometrii różniczkowej gdzie z reguły za ich pomocą definiuje się formy różniczkowe i (pośrednio) całkę z formy różniczkowej po rozmaitości.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Funkcję która jest liniowa względem każdego ze swoich argumentów, tzn.

oraz

dla dowolnych i nazywamy formą -liniową, funkcjonałem -liniowym lub krótko: -formą lub -tensorem na [1].

Zbiór -tensorów na oznaczamy

Struktura przestrzeni liniowej

[edytuj | edytuj kod]

W na przestrzeni liniowej nad ciałem wprowadzamy strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo:

dla i

Iloczyn tensorowy form wieloliniowych

[edytuj | edytuj kod]

Bardzo ważnym działaniem na formach wieloliniowych jest iloczyn tensorowy form wieloliniowych dany wzorem

dla Działanie to będziemy w dalszym ciągu nazywać krótko iloczynem tensorowym.

Iloczyn tensorowy jest łączny:

i rozdzielny względem dodawania:

nie jest jednak przemienny:

Istotnie, załóżmy, że przestrzeń liniowa ma wymiar i rozpatrzmy rzutowania na -tą współrzędną względem bazy tzn. funkcje dane wzorem

Rzutowania -formami, ma więc dla nich sens iloczyn tensorowy. Mamy

Baza i przedstawienie

[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że przestrzeń liniowa nad jest -wymiarowa i rozpatrzmy rzutowania na -tą współrzędną względem bazy przestrzeni tzn. funkcje postaci

Rzutowania te są -formami, ma zatem sens ich iloczyn tensorowy. Utwórzmy iloczyny

dla pewnych indeksów Iloczyny te stanowią bazę przestrzeń W szczególności wynika z tego, że każdą -formę na można jednoznacznie przedstawić w postaci

dla pewnych skalarów

Cofnięcie formy

[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy przestrzeń Każde przekształcenie liniowe indukuje odwzorowanie dane wzorem

dla które nazywamy cofnięciem formy. jest już -tensorem na

Formy antysymetryczne

[edytuj | edytuj kod]

W matematyce i fizyce szczególne znaczenie mają formy antysymetryczne, gdyż pola tensorów antysymetrycznych to jedyne pola tensorowe, które można całkować.

 Zobacz też: Forma różniczkowa.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Niech Niech oznacza rodzinę permutacji zbioru Powiemy, że jest formą antysymetryczną, jeżeli dla dowolnej permutacji zachodzi

Uwagi do definicji

[edytuj | edytuj kod]

(1) Innymi słowy jest formą antysymetryczną, jeżeli zamieniając miejscami dwa dowolne argumenty zmienia się znak formy na przeciwny.

(2) Ponieważ jedyną permutacją zbioru jest identyczność i jej znak wynosi 1, to każda -forma jest antysymetryczna.

(3) Zbiór -form antysymetrycznych na przestrzeni liniowej oznaczamy

(4) tworzy przestrzeń liniową wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo.

(5) Z powodu warunku antysymetryczności na -wymiarowej przestrzeni liniowej jest przestrzenią liniową -wymiarową. Wynika to z postaci bazy przestrzeni W szczególności dla formy antysymetryczne są tożsamościowo równe 0.

Antysymetryzacja

[edytuj | edytuj kod]

Dowolną formę można „przerobić” na formę antysymetryczną za pomocą odwzorowania nazywanego antysymetryzacją albo alternacją danego wzorem

Jeżeli jest formą antysymetryczną to

czyli odwzorowanie alternacji nie zmienia form antysymetrycznych.

Iloczyn zewnętrzny form wieloliniowych

[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ wynikiem iloczynu tensorowego form antysymetrycznych może nie być forma antysymetryczna, to wprowadza się „poprawiony” iloczyn tensorowy tak aby wynik mnożenia był formą antysymetryczną. Definiujemy go wzorem

Nazywamy go iloczynem zewnętrznym, albo alternującym. Iloczyn zewnętrzny jest łączny:

rozdzielny względem dodawania:

Ponadto zachodzi:

dla

Baza i przedstawienie

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie -wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem Utwórzmy iloczyny

dla Iloczyny te stanowią bazę przestrzeni W szczególności wynika z tego, że każdą formę można jednoznacznie przedstawić w postaci

dla pewnych skalarów

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]

(1) Zdefiniujmy wzorem

jest -tensorem. Możemy go zapisać w postaci

gdzie to rzutowania zdefiniowane

Widzimy, że możemy zapisać

(2) Iloczyn skalarny to funkcja taka, że

Wynika z tego, że iloczyn skalarny jest -tensorem na

(3) Definicja aksjomatyczna wyznacznika mówi, że wyznacznik to funkcja taka, że

Gdzie oznaczają tutaj kolumny macierzy Oznacza to, że wyznacznik jest -tensorem na Co więcej, jest to tensor antysymetryczny.

(4) Niech będzie przestrzenią liniową z pewną bazą Obliczmy Z definicji iloczynu zewnętrznego mamy

Widzimy, że

W szczególności wynikają z tego przydatne związki

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, Wydawnictwo Naukowe UMK.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • L Górniewicz, R.S. Ingarden: Analiza matematyczna dla fizyków. Wydawnictwo Naukowe UMK.
  • M. Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach.