Funkcja licząca liczby pierwsze

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Funkcja π)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja πfunkcja używana w teorii liczb[1][2].

Dla danej liczby rzeczywistej wartość jest liczbą liczb pierwszych nie większych od [1][2].

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych[1].

Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Właściwości[1][edytuj | edytuj kod]

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji to:

  • dla

Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż jest przybliżeniem wartości funkcji

  • dla
  • dla

Ponadto:

gdzie jest logarytmem całkowym.

Funkcja f(x) Riemanna[edytuj | edytuj kod]

Bernhard Riemann w swojej pracy[3] zdefiniował funkcję w postaci:

gdzie składnikami sumy jest funkcja liczby liczb pierwszych, natomiast Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma tą samą własność co funkcja Jej wartość rośnie o jeden, kiedy argument jest liczbą pierwszą.

Następnie w dalszej części pracy wyprowadza jawną postać funkcji składającej się z kilku członów.

Pierwszy z nich to logarytm całkowy, drugi to suma po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna dla których spełniona jest zależność:

przy czym sumuje się zera zarówno leżące nad osią liczb rzeczywistych, jak i pod nią. Warto zauważyć, że ze względu na symetryczne ułożenie zer „dodatnich” i „ujemnych” na osi w wyniku sumowania otrzymuje się liczbę rzeczywistą, ponieważ część urojona sumy znosi się wzajemnie.

Trzeci składnik to całka, która szybko dąży do zera wraz z rosnącymi wartościami Przykładowe wartości całki umieszczono w tabeli poniżej.

Ostatni składnik to stała równa

Definicja funkcji liczby liczb pierwszych π(x) za pomocą f(x)[edytuj | edytuj kod]

Kolejne przybliżenia funkcji (zaznaczonej na czerwono) z uwzględnieniem coraz większej ilości nietrywialnych zer (niebieski kolor).

Korzystając z transformacji Möbiusa można przedstawić za pomocą funkcji Riemanna:

gdzie jest funkcją Möbiusa. Im więcej zer weźmie się pod uwagę w sumowaniu tym dokładniejsze uzyska się przybliżenie funkcji liczącej liczby pierwsze.

Funkcja π Riemanna[edytuj | edytuj kod]

Czasami do obliczeń używa się przybliżenia w postaci wtedy taką funkcję nazywa się funkcją Riemanna:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d Eric W. Weisstein, Prime Counting Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.).
  2. a b Prime counting function: Primary definition, functions.wolfram.com [dostęp 2017-10-13].
  3. G.F.B. Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse., listopad 1859 (niem.).