Funkcja π

Funkcja pi – funkcja używana w teorii liczb.

Wartością funkcji dla danej liczby $x$ jest liczba liczb pierwszych nie większych od $x$.

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych.

Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Właściwości

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji π to:

• $\pi (x)>{\frac {x}{\ln x}}$ dla $x\geq 17$
• $\pi (x)<1{,}25506{\frac {x}{\ln x}}$ dla $x>1\;$
• ${\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}$ dla $x\geq 55$

Ponadto:

• $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1$
• $\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1$

gdzie $\operatorname {li}$ jest logarytmem całkowym

Zobacz też

• Funkcja φ