Funkcja π

Funkcja pi – funkcja używana w teorii liczb.

Wartością funkcji dla danej liczby $x$ $x$ jest liczba liczb pierwszych nie większych od $x$ $x$ .

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych.

Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Właściwości[edytuj]

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji π to:

$\pi (x)>{\frac {x}{\ln x}}$ $\pi (x)>{\frac {x}{\ln x}}$ dla $x\geq 17$ $x\geq 17$
$\pi (x)<1{,}25506{\frac {x}{\ln x}}$ $\pi (x)<1{,}25506{\frac {x}{\ln x}}$ dla $x>1\;$ $x>1\;$
${\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}$ ${\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}$ dla $x\geq 55$ $x\geq 55$

Ponadto:

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1$ $\lim _{{x\rightarrow \infty }}{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln}(x)}}=1$
$\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1$ $\lim _{{x\rightarrow \infty }}\pi (x)/\operatorname {li}(x)=1$

gdzie $\operatorname {li}$ $\operatorname {li}$ jest logarytmem całkowym