Surjekcja

Diagram przemienny ilustrujący suriekcję jako funkcję odwracalną prawostronnie

Surjekcja (suriekcja, funkcja „na”) – funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie. Innymi słowy:

• przeciwobraz zbioru niepustego jest niepusty;
• istnieje prawostronna funkcja odwrotna: jeśli $f\colon X\to Y,$ to $\exists g\colon f\circ g=\operatorname {id_{Y}} .$

Termin suriekcja powstał najpóźniej w 1954 roku, kiedy pojawił się w pracy zespołu Nicolas Bourbaki.

Definicja

Niech $X$ oraz $Y$ będą dowolnymi zbiorami. Funkcja $f\colon X\to Y$ odwzorowuje zbiór $X$ na zbiór $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru $Y$ jest wartością funkcji w pewnym punkcie,

$\forall {y\in Y}\;\exists {x\in X}\;f(x)=y,$

co oznacza się często jako $f\colon X{\xrightarrow {na}}Y$ lub $f\colon X{\xrightarrow[{na}]{\ }}Y.$

Warunkiem równoważnym jest pokrywanie się przeciwdziedziny z obrazem dziedziny, $f(X)=Y,$ inaczej $\operatorname {Im} f=Y.$

• 

  Iniekcyjna funkcja niesurjekcyjna (iniekcja, nie bijekcja)

• 

  Iniekcyjna surjekcyjna funkcja (bijekcja)

• 

  Nieinjekcyjna surjekcyjna funkcja (surjekcja, nie bijekcja)

• 

  Nieinjekcyjna niesurjekcyjna funkcja (również nie bijekcja)

Uwaga

Wybór przeciwdziedziny decyduje o surjektywności lub jej braku. Przyjrzyjmy się następującym funkcjom:

$f_{1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ określonej wzorem $f_{1}(x)=x^{2}$ oraz

$f_{2}\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )$ określonej wzorem $f_{2}(x)=x^{2}.$

Tylko druga z powyższych funkcji jest surjekcją, mimo że są one określone tym samym wzorem.

Zauważmy ponadto, że dowolna funkcja jest surjekcją, jeśli jako zbiór $Y$ przyjmiemy zbiór jej wartości.

Przykłady

Niech $x\in \mathbb {R}$ będzie zmienną rzeczywistą, wówczas poniższe funkcje są suriekcjami:

• $f\colon x\mapsto x^{a}$ dla $a\in \{2n+1\colon n\in \mathbb {N} \}$ na $\mathbb {R} ;$
• dowolny wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego, rozpatrywany jako funkcja do zbioru liczb rzeczywistych – wynika to z twierdzenia Darboux o funkcjach ciągłych, do których wielomiany rzeczywiste należą;
• $f\colon x\mapsto \operatorname {tg} \;x$ dla $x\in \bigcup \{(-{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi )\colon k\in \mathbb {Z} \}$ na $\mathbb {R} ;$
• $f\colon \mathbb {R} {\overset {\mathrm {na} }{\mapsto }}\mathbb {Z} ,\quad f(x)=\lceil x\rceil ;$
• $f\colon \mathbb {R} {\overset {\mathrm {na} }{\mapsto }}\{1\},\quad f(x)=1;$
• wszelkie bijekcje.

Pisownia

Słowo surjekcja tradycyjnie bywa pisane przez j, tę wersję jako jedyną dopuszczalną podaje słownik języka polskiego PWN. Zasady pisowni polskiej w ogólnych przypadkach nakazują jednak stosowanie j po innych spółgłoskach niż c, s i z w wypadku, gdy przedrostek jest zakończony spółgłoską, a rdzeń zaczyna się od j; np. podjazd, nadjechał, zjawa czy rozjaśnić. W pozostałych wypadkach pisze się i. Z tego powodu dopuszczalna i przez niektórych stosowana jest pisownia suriekcja i iniekcja przez i.

Zobacz też

• epimorfizm
• funkcja różnowartościowa (iniekcja)

Bibliografia

• Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Analiza matematyczna 1 : definicje, twierdzenia, wzory. Wyd. XI zmienione. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2001, s. 18. ISBN 83-85941-82-7.