Funkcja W Lamberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres funkcji W0(x).
z = Re(W0(x + i y)) (część rzeczywista funkcji)
z = Im(W0(x + i y)) (część urojona funkcji)
moduł funkcji z = W0(x + i y)

Funkcja W Lamberta lub funkcja Omegafunkcja specjalna używana podczas rozwiązywania równań zawierających niewiadomą zarówno w podstawie jak i wykładniku potęgi. Określona jest jako funkcja odwrotna do , gdzie z należy do zbioru liczb zespolonych. Oznacza się ją symbolem . Zatem dla każdej liczby zespolonej z zachodzi:

Ponieważ funkcja f nie jest iniekcją, zatem W(z) musi być odwzorowaniem wielowartościowym. Tworzy się zatem rodzinę funkcji gdzie oznacza numer gałęzi. Dla k=0 przyjmuje się gałąź W0(z) opisaną poniżej, rozszerzoną na wszystkie liczby zespolone. Ze wzrostem k rośnie też część urojona funkcji Wk(z).

Jeśli założymy, że x oraz W(x) mają być rzeczywiste, wtedy odwzorowanie istnieje jedynie dla x ≥ −1/e, a na odcinku (−1/e,0) jest dwuwartościowe. Jeśli dodatkowo założymy, że W(x) ≥ −1, otrzymamy funkcję W0(x), przedstawioną na wykresie obok. Alternatywna gałąź, oznaczana W−1(x) to funkcja malejąca od −1 (dla x = −1/e) do −∞ (dla x = 0).

Własności funkcji W(z)[edytuj]

Równanie ma rozwiązanie:

Pierwotną funkcji można znaleźć całkując przez podstawienie: jeżeli , to , wówczas:

Pochodna funkcji wynosi:

Dowód[edytuj]

Różniczkując równanie obustronnie względem otrzymamy

Zastosowanie[edytuj]

Funkcja W znajduje zastosowanie w kombinatoryce i przy rozwiązywaniu trudnych równań różniczkowych. Wiele równań zawierających niewiadomą w potędze może być rozwiązane za pomocą tej funkcji. Najczęściej problem polega wtedy na sprowadzeniu równania do formy Y = XeX, przez co automatycznie otrzymuje się rozwiązanie:

Przykład 1[edytuj]

Przykład 2[edytuj]

Jeśli wartość jest skończona można ją obliczyć w następujący sposób:

Używając rozumowania przedstawionego powyżej otrzymujemy:

Uwaga[edytuj]

Aby udowodnić, że wartość istnieje należy rozpatrzyć ciąg:

lub (w postaci rekurencyjnej):

i udowodnić istnienie jego granicy. Jeśli ona istnieje wtedy zachodzi równość

Przykład 3[edytuj]

Równanie różniczkowe:

ma równanie charakterystyczne λ = aeλ, czyli λ = Wk(a), gdzie k to numer gałęzi (jeśli a jest rzeczywiste, wtedy wystarczy uwzględnić gałąź W0(a) ). Rozwiązanie wynosi zatem:

Ważne wartości[edytuj]

(stała Omega)