Funkcja Wignera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja Wignera - w mechanice kwantowej funkcja skonstruowana z funkcji falowej dająca informacje na temat rozkładu pędu i położenia stanu kwantowego w przestrzeni fazowej i umożliwiająca bezpośrednie porównanie rozwiązań równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej z rozwiązaniami równań Hamiltona w sensie rozkładu statystycznego gęstości prawdopodobieństwa warunków początkowych. W tym sensie wyraża ona ewolucje czasową zbioru trajektorii klasycznych odpowiadających stanowi kwantowemu zaburzonych przez mechanike kwantową jeśli tylko jest wszędzie dodatnia. Jednak w odróznieniu od klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa warunków początkowych w przestrzeni fazowej istnieją stany dla których przyjmuje ona ujemne wartości tzn. nie mają one jasnego odpowiednika w klasycznym rozkładzie warunków początkowych (pojawia się ujemne prawdopodobieństwo).

Konstrukcja funkcji Wignera polega na znalezieniu takiej funkcji W(\mathbf{r},\mathbf{p},t), dla której


\int d^3p \  W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) = \mid \psi(\mathbf{r},t) \mid^2 = \rho(\mathbf{r},t),


\int d^3r \  W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) = \mid \tilde{\psi}(\mathbf{p},t) \mid^2 \frac{1}{h^3} = \rho_p(\mathbf{p},t).

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie \mathbf{r} równa jest całce z funkcji W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) po zmiennej pędowej, zaś gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie \mathbf{p} równa jest całce z funkcji W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) po zmiennej położeniowej.

Wigner zauważył, że związki te spełnia następująca biliniowa forma (definicja funkcji Wignera):


W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) = \frac{1}{h^3} \int d^3\lambda\ \psi ^{*} (\mathbf{r} - \frac{\boldsymbol{\lambda}}{2},t)\psi(\mathbf{r} + \frac{\boldsymbol{\lambda}}{2},t)e^{-\frac{i}{h}\mathbf{p}\cdot\boldsymbol{\lambda}}.

Funkcja Wignera zdefiniowana poprzez funkcje falowe jest użyteczna wyłącznie dla stanów czystych. Aby pozbyć się tego ograniczenia można zdefiniować funkcję Wignera w sposób ogólniejszy


W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) =\int d^3u\ e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{u}}\langle \mathbf{r}-\frac{1}{2}\mathbf{u}|\hat{\rho}|\mathbf{r}+\frac{1}{2}\mathbf{u}\rangle,

gdzie \hat{\rho} jest macierzą gęstości.

Działanie funkcji Wignera widać najlepiej dla dobrze zlokalizowanyh paczek falowych mających skończony pęd np. dla cząstki swobodnej w jednym wymiarze przestrzennym ze współrzędna \mathbf{r}=x opisanej funkcją falową \psi(x)=N e^{i k x} e^{-\frac{x^2}{2 a^2}}. Czynnik 1/2 mnożący \lambda pojawiający się w symetrycznym wyrażeniu podobnym do splotu funkcji ma podwójne działanie. Wykrywa duże czynniki fazowe pędu w funkcji falowej oraz skaluje gęstość przestrzenną do jej transformaty Fouriera tak aby wyprodukować prawidłową nieoznaczoność pędu. Jeśli gaussowska paczka falowa z fazą zespoloną i k x reprezentującą pęd zlokalizowana jest np. wokoło punktu x=0 wtedy jest parzysta w sensie modułu w \lambda tzn. |\psi(-\lambda/2)|=|\psi(\lambda/2)| a znak minus z \lambda/2 w argumencie funkcji falowej znosi się ze sprzężeniem zespolonym * produkując całkowity czynnik fazowy pędu w 2 \times \lambda/2 ik=\lambda ik. Dla x=0 funkcja Wignera jest więc transformatą Fouriera czynnika fazowego pędu pomnożonego przez przeskalowaną (poszerzoną) gaussowską gęstość przestrzenną w \lambda/2 więc jest też funkcją Gaussa z maksimum w okolicy wartości tego pędu. Natomiast dla skończonego x cała funkcja pomnożona jest przez przez gaussowską gęstość przestrzenną w x niezależną od \lambda co znaczy że funkcja Wignera w przestrzeni fazowej zlokalizowana jest zarówno w około lokalizacji przestrzennej cząstki jak i lokalizacji w przestrzeni pędu tzn. wokoło wartości pędu z czynnika fazowego. Natomiast transformata Fouriera gęstości przestrzennej nie jest kwadratem transformaty Fouriera modułu Gaussowskiej funkcji falowej dającej rozkład pędu i przed transformatą potrzebne jest jej przeskalowanie.

Dla gaussowskiej funkcji falowej cząstki swobodnej o pędzie k (\hbar=1)


\psi(x)=N e^{i k x} e^{-\frac{x^2}{2 a^2}}

Funkcja Wignera jest poprostu dana przez


W(x,p) = 2 N (\pi a)^{1/2} e^{-\frac{x^2}{a^2}}e^{-{a^2}(p-k)^2}.

czyli jest iloczynem funkcji Gaussa pędu i funkcji Gaussa położenia o rozmyciach {a^2} i 1/{a^2} jednym będącym odwrotnością drugiego (zasada nieoznaczoności Heisenberga).

Bibliografia[edytuj]

  • W. P. Schleich: Quantum Optics in Phase Space. Berlin: Wiley-Vch, 2001.