Funkcja Wignera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja Wignera – konstrukcja funkcji Wignera polega na znalezieniu takiej funkcji W(\mathbf{r},\mathbf{p},t), dla której


\int d^3p \  W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) = \mid \psi(\mathbf{r},t) \mid^2 = \rho(\mathbf{r},t),


\int d^3r \  W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) = \mid \tilde{\psi}(\mathbf{p},t) \mid^2 \frac{1}{h^3} = \rho_p(\mathbf{p},t).

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie \mathbf{r} równa jest całce z funkcji W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) po zmiennej pędowej, zaś gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie \mathbf{p} równa jest całce z funkcji W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) po zmiennej położeniowej.

Wigner zauważył, że związki te spełnia następująca biliniowa forma


W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) = \frac{1}{h^3} \int d^3\lambda\ \psi ^{*} (\mathbf{r} - \frac{\boldsymbol{\lambda}}{2},t)\psi(\mathbf{r} + \frac{\boldsymbol{\lambda}}{2},t)e^{-\frac{i}{h}\mathbf{p}\cdot\boldsymbol{\lambda}}.

Funkcja Wignera zdefiniowana poprzez funkcje falowe jest użyteczna wyłącznie dla stanów czystych. Aby pozbyć się tego ograniczenia można zdefiniować funkcję Wignera w sposób ogólniejszy


W(\mathbf{r},\mathbf{p},t) =\int d^3u\ e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{u}}\langle \mathbf{r}-\frac{1}{2}\mathbf{u}|\hat{\rho}|\mathbf{r}+\frac{1}{2}\mathbf{u}\rangle,

gdzie \hat{\rho} jest macierzą gęstości.