Funkcja Wignera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja Wignera - w mechanice kwantowej funkcja skonstruowana z funkcji falowej dająca informacje na temat rozkładu pędu i położenia stanu kwantowego w przestrzeni fazowej i umożliwiająca bezpośrednie porównanie rozwiązań równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej z rozwiązaniami równań Hamiltona w sensie rozkładu statystycznego gęstości prawdopodobieństwa warunków początkowych. W tym sensie wyraża ona ewolucje czasową zbioru trajektorii klasycznych odpowiadających stanowi kwantowemu zaburzonych przez mechanike kwantową jeśli tylko jest wszędzie dodatnia. Jednak w odróznieniu od klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa warunków początkowych w przestrzeni fazowej istnieją stany dla których przyjmuje ona ujemne wartości tzn. nie mają one jasnego odpowiednika w klasycznym rozkładzie warunków początkowych (pojawia się ujemne prawdopodobieństwo).

Konstrukcja funkcji Wignera polega na znalezieniu takiej funkcji , dla której

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie równa jest całce z funkcji po zmiennej pędowej, zaś gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie równa jest całce z funkcji po zmiennej położeniowej.

Wigner zauważył, że związki te spełnia następująca biliniowa forma (definicja funkcji Wignera):

Funkcja Wignera zdefiniowana poprzez funkcje falowe jest użyteczna wyłącznie dla stanów czystych. Aby pozbyć się tego ograniczenia można zdefiniować funkcję Wignera w sposób ogólniejszy

gdzie jest macierzą gęstości.

Działanie funkcji Wignera widać najlepiej dla dobrze zlokalizowanyh paczek falowych mających skończony pęd np. dla cząstki swobodnej w jednym wymiarze przestrzennym ze współrzędna opisanej funkcją falową . Czynnik mnożący pojawiający się w symetrycznym wyrażeniu podobnym do splotu funkcji ma podwójne działanie. Wykrywa duże czynniki fazowe pędu w funkcji falowej oraz skaluje gęstość przestrzenną do jej transformaty Fouriera tak aby wyprodukować prawidłową nieoznaczoność pędu. Jeśli gaussowska paczka falowa z fazą zespoloną reprezentującą pęd zlokalizowana jest np. wokoło punktu wtedy jest parzysta w sensie modułu w tzn. a znak minus z w argumencie funkcji falowej znosi się ze sprzężeniem zespolonym produkując całkowity czynnik fazowy pędu w . Dla funkcja Wignera jest więc transformatą Fouriera czynnika fazowego pędu pomnożonego przez przeskalowaną (poszerzoną) gaussowską gęstość przestrzenną w więc jest też funkcją Gaussa z maksimum w okolicy wartości tego pędu. Natomiast dla skończonego cała funkcja pomnożona jest przez przez gaussowską gęstość przestrzenną w niezależną od co znaczy że funkcja Wignera w przestrzeni fazowej zlokalizowana jest zarówno w około lokalizacji przestrzennej cząstki jak i lokalizacji w przestrzeni pędu tzn. wokoło wartości pędu z czynnika fazowego. Natomiast transformata Fouriera gęstości przestrzennej nie jest kwadratem transformaty Fouriera modułu Gaussowskiej funkcji falowej dającej rozkład pędu i przed transformatą potrzebne jest jej przeskalowanie.

Dla gaussowskiej funkcji falowej cząstki swobodnej o pędzie ()

Funkcja Wignera jest poprostu dana przez

czyli jest iloczynem funkcji Gaussa pędu i funkcji Gaussa położenia o rozmyciach i jednym będącym odwrotnością drugiego (zasada nieoznaczoności Heisenberga).

Bibliografia[edytuj]

  • W. P. Schleich: Quantum Optics in Phase Space. Berlin: Wiley-Vch, 2001.