Funkcja całkowalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja całkowalnafunkcja, dla której istnieje całka w sensie danej teorii całki. Jeżeli nie jest to sprecyzowane, to najczęściej ma się na myśli funkcje całkowalne w sensie Lebesgue'a; pozostałe zwykle są odpowiednio kwalifikowane, np. funkcja całkowalna w sensie Riemanna (tzn. istnieje całka Riemanna tej funkcji), czy w sensie Henstocka-Kurzweila itp.

Całkowalność a funkcja pierwotna[edytuj | edytuj kod]

Choć funkcja może mieć funkcję pierwotną (całkę nieoznaczoną), to może nie być ona całkowalna. Przykładowo funkcja

jest pierwotną funkcji

ale całka z funkcji nie jest zbieżna na żadnym przedziale nieskończonym. Może tak być nawet wtedy, gdy funkcja pierwotna ma granicę w każdym kierunku, jak np.

dla

której pochodna

nie jest całkowalna na przedziale Jest prawdą nawet, gdy przedział całkowania nie jest nieskończony; przykładem może być pierwotna

dla

której pochodna

nie jest całkowalna w przedziale Jest tak, ponieważ po przypisaniu jakiejkolwiek wartości w zerze, będzie ona tam nieciągła. Z tego powodu nie jest określone, dlatego niemożliwe jest zastosowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego na przedziale

Całkowalność w sensie Lebesgue'a[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: całka Lebesgue'a.

Dla danego zbioru z określoną na nim σ-algebrą i miarą określoną na rzeczywista funkcja jest całkowalna, jeżeli tak jej część dodatnia jak i ujemna funkcjami mierzalnymi o skończonej całce Lebesgue'a. Jest to równoważne temu, by skończona była całka z funkcji Wówczas całkę Lebesgue'a funkcji definiuje się wówczas wzorem

Czasami funkcję całkowalną w powyższym sensie nazywa się sumowalną, zaś termin „funkcja całkowalna” zarezerwowany jest dla funkcji dla której skończona jest choć jedna z całek po prawej stronie powyższego wzoru.

Dla liczby rzeczywistej funkcję nazywa się -sumowalną, jeżeli sumowalna jest funkcja Wielu autorów stosuje jednak to nazewnictwo tylko wtedy, gdy jest ciągiem, a jest dyskretna; w przypadku ogólnym nazywając funkcją -całkowalną. Dla mówi się czasem, że jest bezwzględnie sumowalna/całkowalna.

Przestrzenie Lp funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a w p-tej potędze są jednym z głównych obiektów badań analizy funkcjonalnej.

Całkowalność z kwadratem[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: przestrzeń funkcyjna.

Funkcja zmiennej rzeczywistej bądź zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych jest całkowalna z kwadratem na przedziale, jeżeli całka kwadratu jej wartości bezwzględnej/modułu jest skończona. Zbiór wszystkich funkcji mierzalnych całkowalnych z kwadratem, w sensie Lebesgue'a, stanowi przestrzeń liniową, która jest przestrzenią Hilberta – jest to tzw. przestrzeń L2, w której funkcje równe prawie wszędzie są ze sobą utożsamiane (formalnie L2 jest przestrzenią ilorazową przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem przez podprzestrzeń funkcji, które znikają prawie wszędzie).

Funkcje tego rodzaju są szczególnie użyteczne w mechanice kwantowej, ponieważ funkcje falowe muszą być całkowalne z kwadratem na całej przestrzeni, aby teoria dawała sensowne fizycznie rozwiązania.