Funkcja charakterystyczna zbioru

Funkcja charakterystyczna zbioru, indykator zbioru – funkcja mająca zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).

Definicja

Niech $A$ będzie dowolnym zbiorem, zaś $B$ jego podzbiorem, $B\subseteq A.$

Funkcją charakterystyczną zbioru $B$ nazywamy funkcję rzeczywistą $f\colon A\longrightarrow \{0,1\}$ określoną następującym wzorem:

$f(x):={\begin{cases}1,&{\mbox{gdy }}x\in B,\\0,&{\mbox{gdy }}x\notin B.\end{cases}}$

Oznaczeniem funkcji charakterystycznej zbioru $B\subseteq A$ jest $\mathbf {1} _{B,A},\ \chi _{B,A},\ \mathbf {1} _{B},$ bądź $\chi _{B}.$

Przykłady

• Funkcja Dirichleta $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }$ zbioru liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ jest funkcją nieciągłą w każdym punkcie dziedziny.
• Jeśli $f\colon A\to {\overline {\mathbb {R} }}$ jest nieujemną funkcją mierzalną, to ciąg

$\left({\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=1}^{n2^{n}}\chi _{\{x\in A\colon f(x)>k/2^{n}\},A}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

jest punktowo zbieżny do $f.$

Zobacz też

• funkcja charakterystyczna w rachunku prawdopodobieństwa