Funkcja dzeta Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja ζ (dzeta) Riemannafunkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:

Szereg ten jest zbieżny dla takich , których część rzeczywista jest większa od 1.

Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza . Przyjmuje ona wtedy postać:

Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:

gdzie to funkcja Γ (gamma) Eulera.

Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.

Wykres funkcji ζ[edytuj]

Dziedzina liczb rzeczywistych[edytuj]

Zeta plot.gif

Dziedzina liczb zespolonych[edytuj]

Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Complex zeta.jpg

Ważne wzory związane z funkcją ζ[edytuj]

Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla ):

gdzie oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.

Związek z liczbami Bernoulliego:

dla każdej liczby parzystej dodatniej , gdzie to -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych :

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

gdzie to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od .

gdzie to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby .

Niektóre wartości[edytuj]

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]