Funkcja dzeta Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja ζ (dzeta) Riemannafunkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:

Szereg ten jest zbieżny dla takich których część rzeczywista jest większa od 1.

Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza Przyjmuje ona wtedy postać:

[1]

Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:

[2][3]

gdzie to funkcja Γ (gamma) Eulera.

Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.

Wykres funkcji ζ[edytuj | edytuj kod]

Dziedzina liczb rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]

Zeta plot.gif

Dziedzina liczb zespolonych[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny. Complex zeta.jpg

Ważne wzory związane z funkcją ζ[edytuj | edytuj kod]

Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla ):

[4][5]

gdzie oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.

Związek z liczbami Bernoulliego:

dla każdej liczby parzystej dodatniej gdzie to -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

[6]

gdzie to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od

[7]

gdzie to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby

Niektóre wartości[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1
[8]
[8]
[8]

Ogólnie, dla mamy:

[9]

gdzie to liczba Bernoulliego z indeksem

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Marcin Szweda, Kongruencje na liczbach harmonicznych i ich uogólnienia [w:] Oblicze 2016, Poznań: Koło Naukowe Matematyków UAM, wrzesień 2016, s. 210, ISBN 978-83-946301-0-2 [dostęp 2019-02-09] (pol.).
  2. Titchmarsh 1986 ↓, s. 13.
  3. Carl M Bender, Dorje C. Brody, Markus P. Müller, Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function, „Physical Review Letters”, 118, 2017, s. 130201-1, DOI10.1103/PhysRevLett.118.130201 (ang.).
  4. Georg Friedrich Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, „Monatsberichte der Berliner Akademie”, listopad 1859.
  5. Titchmarsh 1986 ↓, s. 1.
  6. Titchmarsh 1986 ↓, s. 2.
  7. Titchmarsh 1986 ↓, s. 4.
  8. a b c Maligranda 2008 ↓, s. 55.
  9. Maligranda 2008 ↓, s. 62.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]