Funkcja dzeta Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja ζ (dzeta) Riemannafunkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:

Szereg ten jest zbieżny dla takich których część rzeczywista jest większa od 1 (Re z > 1)[1].

Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza Przyjmuje ona wtedy postać:

[2]

Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:

[3][4]

gdzie to funkcja Γ (gamma) Eulera.

Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.

Wykres funkcji ζ[edytuj | edytuj kod]

Dziedzina liczb rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]

Zeta plot.gif

Dziedzina liczb zespolonych[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny. Complex zeta.jpg

Ważne wzory związane z funkcją ζ[edytuj | edytuj kod]

Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla ):

[5][6]

gdzie oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.

Związek z liczbami Bernoulliego:

dla każdej liczby parzystej dodatniej gdzie to -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

[7]

gdzie to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od

[8]

gdzie to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby

Niektóre wartości[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1
[9]
[9]
[9]

Ogólnie, dla mamy:

[10]

gdzie to liczba Bernoulliego z indeksem

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Funkcja dzeta (zeta) Riemanna, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-14].
  2. Marcin Szweda, Kongruencje na liczbach harmonicznych i ich uogólnienia, [w:] Oblicze 2016, Poznań: Koło Naukowe Matematyków UAM, wrzesień 2016, s. 210, ISBN 978-83-946301-0-2 [dostęp 2019-02-09] (pol.).
  3. Titchmarsh 1986 ↓, s. 13.
  4. Carl M Bender, Dorje C. Brody, Markus P. Müller, Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function, „Physical Review Letters”, 118, 2017, s. 130201-1, DOI10.1103/PhysRevLett.118.130201 (ang.).
  5. Georg Friedrich Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, „Monatsberichte der Berliner Akademie”, listopad 1859.
  6. Titchmarsh 1986 ↓, s. 1.
  7. Titchmarsh 1986 ↓, s. 2.
  8. Titchmarsh 1986 ↓, s. 4.
  9. a b c Maligranda 2008 ↓, s. 55.
  10. Maligranda 2008 ↓, s. 62.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]