Funkcja harmoniczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja harmonicznafunkcja rzeczywista , której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie spełniająca równanie różniczkowe Laplace'a:

,

gdzie jest operatorem Laplace'a.

Poniżej piszemy , gdy oraz oznaczamy kulę środku i promieniu , a sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru oznaczamy przez .

Funkcje sub- i superharmoniczne[edytuj]

Funkcję nazywamy subharmoniczną, gdy oraz superharmoniczną, gdy .

Własność wartości średniej[edytuj]

Niech oraz harmoniczna w . Wówczas:

Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.

Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:

Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych[edytuj]

Niech będzie otwarty, ograniczony i spójny, oraz u subharmoniczna w . Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie tj. . Wówczas dla każdego .

Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu . Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych - nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru .

Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej[edytuj]

Funkcję nazywamy subharmoniczną gdy dla każdej kuli i każdej funkcji harmonicznej ciągłej na i takiej, że spełnione jest na całej kuli .

Zauważmy, że ta definicja nie używa pojęcia pochodnej. Można jednak pokazać, że dla funkcji klasy obie definicje są równoważne.

Przykłady[edytuj]

Rozpatrzmy tzw. rozwiązanie podstawowe laplasjanu:

gdzie oznacza wymiar przestrzeni. Dla mamy .

Bibliografia[edytuj]

Zobacz też[edytuj]