Funkcja harmoniczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja harmonicznafunkcja rzeczywista której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie, spełniająca równanie różniczkowe Laplace’a:

gdzie jest operatorem Laplace’a.

Poniżej piszemy gdy oraz oznaczamy kulę środku i promieniu a sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru oznaczamy przez

Funkcje sub- i superharmoniczne[edytuj | edytuj kod]

Funkcję nazywamy subharmoniczną, gdy oraz superharmoniczną, gdy

Własność wartości średniej[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz harmoniczna w Wówczas:

Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.

Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:

Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie otwarty, ograniczony i spójny, oraz u subharmoniczna w Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie tj. Wówczas dla każdego

Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych – nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru

Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej[edytuj | edytuj kod]

Funkcję nazywamy subharmoniczną, gdy dla każdej kuli i każdej funkcji harmonicznej ciągłej na i takiej, że spełnione jest na całej kuli

Zauważmy, że ta definicja nie używa pojęcia pochodnej. Można jednak pokazać, że dla funkcji klasy obie definicje są równoważne.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy tzw. rozwiązanie podstawowe laplasjanu:

gdzie oznacza wymiar przestrzeni. Dla mamy

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]