Funkcja jednorodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja jednorodnafunkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami, w tym grupy abelowe (czyli moduły nad pierścieniem liczb całkowitych).

Definicja[edytuj]

Niech będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem . Funkcja nazwana zostanie jednorodną (stopnia 1), jeżeli dla dowolnych oraz zachodzi

Jeżeli dla oraz zachodzi wzór

to funkcję nazywa się jednorodną stopnia

Jeśli funkcja spełnia dla każdego oraz , gdzie jest ciałem uporządkowanym, warunek

to nazywa się ją dodatnio jednorodną.

Przykłady[edytuj]

  • Przykładem funkcji jednorodnej jest dowolne przekształcenie liniowe (wprost z definicji), np. ponieważ
  • Traktując wyznacznik jako funkcję macierzy kwadratowych ustalonego stopnia otrzymuje się gdzie jest dowolną macierzą kwadratową stopnia [a].
  • Dla dowolnej normy (a nawet półnormy) wprost z definicji zachodzi tożsamość

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Również dla co wynika z -liniowości wyznacznika traktowanego jako funkcja wektorów należących do przestrzeni liniowej wymiaru