Funkcja jednostajnie ciągła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Jednostajna ciągłość – własność funkcji określonych między przestrzeniami metrycznymi będąca wzmocnieniem pojęcia ciągłości.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech Funkcję nazywamy jednostajnie ciągłą, gdy:

  • dla każdego istnieje takie że dla wszelkich zachodzi nierówność o ile tylko Formalnie:
Powyższa charakteryzacja typu Cauchy’ego ma też swój odpowiednik typu Heinego:
  • dla dowolnych dwóch ciągów zachodzi:

Jeżeli przestrzenią metryczną jest zbiór liczb rzeczywistych ze standardową metryką euklidesową dla to jednostajną ciągłość funkcji gdzie jest przedziałem liczb rzeczywistych, można formalnie zapisać

Własności funkcji jednostajnie ciągłych[edytuj | edytuj kod]

Warunki konieczne (konsekwencje)[edytuj | edytuj kod]

  • Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.
Dowód. Jeśli jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi i to ciągłość oznacza, że dla każdego punktu i każdego takie istnieje (indeks dolny przy oznacza, że liczba ta zależy od i ) taka, że obraz kuli o środku i promieniu zawiera się w kuli o środku i promieniu Jednostajna ciągłość oznacza, że dla każdego istnieje takie że obraz dowolnej kuli o promieniu zawiera się w kuli o promieniu Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.
  • Jeśli jest ciągiem Cauchy’ego elementów przestrzeni oraz jest jednostajnie ciągła, to ciąg jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni
Dowód. Niech Na mocy jednostajnej ciągłości istnieje taka liczba że dla dowolnych spełniających warunek zachodzi oszacowanie Skoro jest ciągiem Cauchy’ego, to istnieje taka liczba naturalna że dla zachodzi a zatem dla Dowodzi to, że ciąg jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni
Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić, czy dana funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Np. niech będzie funkcją daną wzorem Wówczas ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, jednak czyli ciąg nie jest ciągiem Cauchy’ego w Wobec powyższego nie jest jednostajnie ciągła.
  • Niech będzie całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną (np. jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła jest ograniczona.
Dowód. Dla niech będzie takie, iż dla dowolnych spełniających warunek zachodzi oszacowanie Niech będzie ciągiem kul otwartych o promieniu których suma jest równa Niech będzie środkiem Niech
Ustalmy Wówczas dla pewnego Ostatecznie
co dowodzi ograniczoności

Warunki wystarczające[edytuj | edytuj kod]

Dowód. Niech będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą Niech oraz niech dany będzie Gdy to o ile tylko
  • Funkcja jednostajnie ciągła, która nie spełnia warunku Lipschitza to np. pierwiastek na przedziale
  • W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym [] jest jednostajnie ciągła. Na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła[potrzebny przypis].

Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj | edytuj kod]

Niech będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie jest jednostajnie ciągłe, jeśli[potrzebny przypis]:

dla każdego otoczenia zera przestrzeni istnieje otoczenie zera przestrzeni takie, że dla każdych zachodzi:

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]