Funkcja jednostajnie ciągła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi. Jednostajna ciągłość funkcji pociąga ciągłość, ale na ogół nie odwrotnie.

Definicja[edytuj]

Niech I będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech f: I → ℂ. Funkcja f nazywana jest jednostajnie ciągłą gdy dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla wszelkich x, yI zachodzi nierówność | f(y) - f(x) | < ε o ile tylko | y - x | < δ.

Definicję tę można mutatis mutandis uogólnić na funkcje określone na przestrzeniach metrycznych. Niech (X, ϱ) i (Y, σ) będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech f: XY. Funkcja f nazywana jest jednostajnie ciągłą gdy dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla wszelkich x, yX zachodzi nierówność σ(f(x), f(y)) < ε o ile tylko ϱ(x, y) < δ.

Własności funkcji jednostajnie ciągłych[edytuj]

1. Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.

Dowód. Jeśli f: XY jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi (X, ϱ) i (Y, σ), to ciągłość f oznacza, że dla każdego punktu xX i każdego ε > 0 takie istnieje (indeks dolny przy oznacza, że liczba ta zależy od x i ε) taka, że obraz kuli o środku x i promieniu zawiera się w kuli o środku f(x) i promieniu ε. Jednostajna ciągłość f oznacza, że dla każdego ε > 0 istnieje takie δε > 0, że obraz f(K) dowolnej kuli K o promieniu δε zawiera się w kuli o promieniu ε. Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.

2. Jeśli (xn) jest ciągiem Cauchy'ego elementów przestrzeni X oraz f: XY jest jednostajnie ciągła, to ciąg (f(xn)) jest ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni Y.

Dowód. Niech ε > 0 . Na mocy jednostajnej ciągłości f: XY istnieje taka liczba δ > 0, że dla dowolnych x, yX spełniających warunek ϱ(x, y) < δ zachodzi oszacowanie σ(f(x), f(y)) < ε. Skoro (xn) jest ciągiem Cauchy'ego, to istnieje taka liczba naturalna N, że dla n, kN zachodzi ϱ(xn, xk) < δ, a zatem σ(f(xn), f(xk)) < ε dla n, kN. Dowodzi to, że ciąg (f(xn)) jest ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni Y.
Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić czy dana funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Rozważmy następujący przykład.
Niech f: (0, 2) → ℝ będzie funkcją daną wzorem f(x) = 1 / x (x ∈ (0, 2)). Wówczas ciąg (1 / n) jest ciągiem Cauchy'ego, jednak f(1 / n) = n, czyli ciąg (f(1 / n)) nie jest ciągiem Cauchy'ego w ℝ. Wobec powyższego, f nie jest jednostajnie ciągła.

3. Niech (X, ϱ) będzie całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną (np. X jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła f: X → ℂ jest ograniczona.

Dowód. Dla ε = 1 niech δ > 0 będzie takie, iż dla dowolnych x, yX spełniających warunek ϱ(x, y) < δ zachodzi oszacowanie | f(y) - f(x) | < 1. Niech K1, K2, ..., Kn będzie ciągiem kul otwartych o promieniu δ, których suma jest równa X. Niech xi będzie środkiem Ki (in). Niech
M = max{ | f(xi) |: in }.
Ustalmy yX. Wówczas yKiy dla pewnnego iyn. Ostatecznie
| f(y) | = | f(y) - f(xiy) + f(xiy) | ≤ 1 + M,
co dowodzi ograniczoności f.

4. Każda funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest jednostajnie ciągła.

Dowód. Niech f: XY będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą L. Niech x1, x2X oraz niech dany będzie ε > 0. Gdy δ = ε / L, to σ(f(x1), f(x2)) ≤ L ϱ(x1, x2) ≤ L ε / L = ε o ile tylko ϱ(x1, x2) ≤ δ.

5. Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła (Twierdzenie Heinego-Cantora).

6. W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym [a, b] jest jednostajnie ciągła. Na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja f(x) = 1 / x na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła.

Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj]

Niech będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie jest jednostajnie ciągłe, jeśli dla każdego otoczenia zera przestrzeni istnieje otoczenie zera przestrzeni takie, że dla każdych

Bibliografia[edytuj]

  • J.B. Conway, Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3, ss. 25–28.
  • S.C. Malik, Principles of Real Analysis, New Age International, 1982, ss. 127–129.

Zobacz też[edytuj]