Funkcja kardynalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja kardynalnafunkcja której wartościami są liczby kardynalne. Zwykle tej nazwy używa się gdy, dodatkowo, wartości funkcji są nieskończonymi liczbami kardynalnymi. Często funkcje te są klasami.

Funkcje kardynalne są jednym z najbardziej widocznych połączeń teorii mnogości z innymi dziedzinami matematyki. Dostarczają one wygodnego języka do opisu różnych własności obiektów matematycznych i są również interesującym obiektem badań samym w sobie.

Funkcje kardynalne w teorii mnogości[edytuj]

  • Najczęściej spotykaną funkcją kardynalną jest funkcja moc zbioru, która dla zbioru A przyporządkowuje jego moc .
  • Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech będzie takim ideałem podzbiorów zbioru , który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Określamy:
  • Dla praporządku określa się liczbę nieograniczoną oraz liczbę dominującą tego praporządku przez
,
.

Funkcje kardynalne w topologii[edytuj]

 Osobny artykuł: Funkcje kardynalne w topologii.

Funkcje kardynalne są szeroko używane w topologii gdzie są bardzo wygodnym narzędziem w opisie własności przestrzeni topologicznych[1][2]. Na przykład, rozważa się następujące funkcje kardynalne:

  • Ciężar przestrzeni X to jest bazą topologii na X .
  • Gęstość przestrzeni X to .
  • Celularność przestrzeni X to
jest rodziną parami rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów .
  • Ciasność przestrzeni X w punkcie to

i ciasność przestrzeni X to .

  • Rozciągłość przestrzeni X to
z topologią podprzestrzeni jest przestrzenią dyskretną .

Funkcje kardynalne w teorii algebr Boole'a[edytuj]

Funkcje kardynalne są często używanym narzędziem do opisu i badania algebr Boole'a[3][4]. Rozważa się, na przykład, następujące funkcje:

  • Celularność algebry Boole'a jest to supremum mocy antyłańcuchów w .
  • Długość algebry Boole'a to
jest łańcuchem
  • Głębokość algebry Boole'a to
jest dobrze uporządkowanym łańcuchem .
  • Nieporównywalność algebry Boole'a to
oraz .
  • Pseudociężar algebry Boole'a to
oraz .

Funkcje kardynalne w algebrze[edytuj]

 Osobny artykuł: Funkcje kardynalne w algebrze.

Funkcje kardynalne w algebrze są mniej wyeksponowane, niemniej jednak są one tam obecne. Przykładami takich funkcji są:

  • Wymiar przestrzeni liniowej V nad ciałem K.
  • Dla modułu wolnego M nad pierścieniem przemiennym R wprowadza się rangę jako moc dowolnej bazy wolnej tego modułu.
  • Dla podprzestrzeni W przestrzeni liniowej V rozważa się kowymiar tej przestrzeni (względem V).
  • Dla (przemiennej) grupy nieskończenie podzielnej rozważa się rangi i (dla wszystkich liczb pierwszych ) dane przez rozkład
(Powyżej, jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych, jest grupą addytywną liczb wymiernych a jest grupą p-quasi cykliczną.)

Funkcje kardynalne w analizie funkcjonalnej[edytuj]

  • Dla przestrzeni Banacha X rozważa się zbiory Enflo-Rosenthala (tzw ER-zbiory) będące uogólnieniami bazy Schaudera. (Zbiór jest zbiorem Enflo-Rosenthala jeśli każdy jego przeliczalny podzbiór może być uporządkowany tak, że stanowi ciąg bazowy oraz każdy element X jest granicą ciągu skończonych kombinacji elementów A.) Minimalne moce ER-zbiorów są (oczywiście) funkcjami kardynalnymi na przestrzeniach Banacha dopuszczających istnienie takich zbiorów[5].

Przypisy

  1. Juhász, István: Cardinal functions in topology. "Mathematical Centre Tracts", nr 34. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1971.
  2. Juhász, István: Cardinal functions in topology – ten years later. "Mathematical Centre Tracts", 123. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980. ISBN 90-6196-196-3
  3. Monk, J. Donald: Cardinal functions on Boolean algebras. "Lectures in Mathematics ETH Zürich". Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. ISBN 3-7643-2495-3.
  4. Monk, J. Donald: Cardinal invariants on Boolean algebras. "Progress in Mathematics", 142. Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-5402-X.
  5. Singer, Ivan: Bases in Banach spaces. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucharest; Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981, s 571-603. ISBN 3-540-10394-5

Zobacz też[edytuj]