Funkcja kardynalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja kardynalnafunkcja której wartościami są liczby kardynalne. Zwykle tej nazwy używa się gdy, dodatkowo, wartości funkcji są nieskończonymi liczbami kardynalnymi. Często funkcje te są klasami.

Funkcje kardynalne są jednym z najbardziej widocznych połączeń teorii mnogości z innymi dziedzinami matematyki. Dostarczają one wygodnego języka do opisu różnych własności obiektów matematycznych i są również interesującym obiektem badań samym w sobie.

Funkcje kardynalne w teorii mnogości[edytuj | edytuj kod]

  • Najczęściej spotykaną funkcją kardynalną jest funkcja moc zbioru, która dla zbioru przyporządkowuje jego moc
  • Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech będzie takim ideałem podzbiorów zbioru który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Określamy:
  • Dla praporządku określa się liczbę nieograniczoną oraz liczbę dominującą tego praporządku przez

Funkcje kardynalne w topologii[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Funkcje kardynalne w topologii.

Funkcje kardynalne są szeroko używane w topologii gdzie są bardzo wygodnym narzędziem w opisie własności przestrzeni topologicznych[1][2]. Na przykład rozważa się następujące funkcje kardynalne:

  • Ciężar przestrzeni to jest bazą topologii na
  • Gęstość przestrzeni to
  • Celularność przestrzeni to
jest rodziną parami rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów
  • Ciasność przestrzeni w punkcie to
i ciasność przestrzeni to
  • Rozciągłość przestrzeni to
z topologią podprzestrzeni jest przestrzenią dyskretną

Funkcje kardynalne w teorii algebr Boole’a[edytuj | edytuj kod]

Funkcje kardynalne są często używanym narzędziem do opisu i badania algebr Boole’a[3][4]. Rozważa się, na przykład, następujące funkcje:

  • Celularność algebry Boole’a jest to supremum mocy antyłańcuchów w
  • Długość algebry Boole’a to
jest łańcuchem
  • Głębokość algebry Boole’a to
jest dobrze uporządkowanym łańcuchem
  • Nieporównywalność algebry Boole’a to
oraz
  • Pseudociężar algebry Boole’a to
oraz

Funkcje kardynalne w algebrze[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Funkcje kardynalne w algebrze.

Funkcje kardynalne w algebrze są mniej wyeksponowane, niemniej jednak są one tam obecne. Przykładami takich funkcji są:

  • Wymiar przestrzeni liniowej nad ciałem
  • Dla modułu wolnego nad pierścieniem przemiennym wprowadza się rangę jako moc dowolnej bazy wolnej tego modułu.
  • Dla podprzestrzeni przestrzeni liniowej rozważa się kowymiar tej przestrzeni (względem ).
  • Dla (przemiennej) grupy nieskończenie podzielnej rozważa się rangi i (dla wszystkich liczb pierwszych ) dane przez rozkład
(Powyżej, jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych, jest grupą addytywną liczb wymiernych, a jest grupą -quasi cykliczną).

Funkcje kardynalne w analizie funkcjonalnej[edytuj | edytuj kod]

  • Dla przestrzeni Banacha rozważa się zbiory Enflo-Rosenthala (tzw. ER-zbiory) będące uogólnieniami bazy Schaudera. (Zbiór jest zbiorem Enflo-Rosenthala jeśli każdy jego przeliczalny podzbiór może być uporządkowany tak, że stanowi ciąg bazowy oraz każdy element jest granicą ciągu skończonych kombinacji elementów ). Minimalne moce ER-zbiorów są (oczywiście) funkcjami kardynalnymi na przestrzeniach Banacha dopuszczających istnienie takich zbiorów[5].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Juhász, István: Cardinal functions in topology. „Mathematical Centre Tracts”, nr 34. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1971.
  2. Juhász, István: Cardinal functions in topology – ten years later. „Mathematical Centre Tracts”, 123. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980. ​ISBN 90-6196-196-3​.
  3. Monk, J. Donald: Cardinal functions on Boolean algebras. „Lectures in Mathematics ETH Zürich”. Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. ​ISBN 3-7643-2495-3​.
  4. Monk, J. Donald: Cardinal invariants on Boolean algebras. „Progress in Mathematics”, 142. Birkhäuser Verlag, Basel, ​ISBN 3-7643-5402-X​.
  5. Singer, Ivan: Bases in Banach spaces. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucharest; Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981, s. 571–603, ​ISBN 3-540-10394-5​.