Funkcja monotoniczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Na tę stronę wskazuje przekierowanie ze „zbiór monotoniczny”. Zobacz też: klasa monotoniczna w teorii mnogości i teorii miary.
Funkcja monotonicznie niemalejąca (silnie po lewej i słabo po prawej).
Funkcja monotonicznie nierosnąca.
Funkcja niemonotoniczna.

Funkcja monotonicznafunkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.

Analiza matematyczna[edytuj]

Niech będzie dowolną funkcją określoną na zbiorach silnie uporządkowanych oraz , takich jak np. podzbiory liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych, a będą dowolnymi elementami . Wówczas funkcję nazywa się

  • rosnącą lub silnie rosnącą, gdy
  • malejącą lub silnie malejącą, gdy

Jeżeli zbiory oraz słabo uporządkowane, to funkcję nazywa się

  • niemalejącą lub słabo rosnącą, gdy
  • nierosnącą lub słabo malejącą, gdy

Aby uczynić definicje przystępniejszymi wprowadza się dodatkowe relacje „większe” i „większe-równe” odwrotne względem powyższych, wówczas warunki po prawych stronach implikacji w drugiej i czwartej definicji mają postać kolejno: i .

W szczególności symbole oraz mogą oznaczać odpowiednio relacje „mniejsze” oraz „mniejsze-równe” określone na zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych. Podobnie ma się rzecz z relacjami „większe” i „większe-równe” .

Funkcją monotoniczną nazywa się każdą z powyższych czterech rodzajów funkcji, choć niekiedy czyni się to tylko w stosunku do dwóch pierwszych. Aby uniknąć nieporozumień pierwsze dwie nazywa się czasami silnie monotonicznymi, a dwie pozostałe – słabo monotonicznymi. Można powiedzieć, że funkcje rosnące „zachowują porządek”, zaś funkcje malejące „odwracają” go.

Funkcje silnie monotoniczne są różnowartościowe. Należy zaznaczyć, że dowolna funkcja rosnąca jest niemalejąca, a każda funkcja malejąca jest nierosnąca. Dodatkowo jeśli jest rosnąca, to maleje i odwrotnie; podobnie ma się rzecz z funkcjami nierosnącymi i niemalejącymi.

Jeżeli w zbiorze zdefiniowano relację równości (równoważności; relacja porządku nie jest wymagana), wówczas funkcję nazywa się

  • stałą, gdy
    dla dowolnych .

Jeżeli jest dodatkowo zbiorem uporządkowanym, to funkcje stałe są jedynymi funkcjami tak niemalejącymi jak i nierosnącymi. W związku z tym funkcja stała także bywa zaliczana do klasy funkcji monotonicznych.

Przykłady[edytuj]

  • Funkcja liniowa jest malejąca, gdy , rosnąca, gdy jest niemalejąca, gdy , nierosnąca, gdy i stała, gdy .
  • Funkcja wykładnicza jest rosnąca, gdy , malejąca, gdy i stała dla .
  • Funkcja logarytmiczna rośnie, gdy (w tym funkcja logarytmu naturalnego) i maleje .
  • Funkcja potęgowa rośnie na przedziale , gdy i maleje, gdy .

Przykładami ciągów (które są funkcjami) mogą być:

  • ciąg słów , który jest stały;
  • ciąg liczb naturalnych , który (ściśle) rośnie;
  • ciąg liczb całkowitych , który nie jest monotoniczny.

Własności i zastosowania[edytuj]

Funkcja monotoniczna przedziałami to funkcja, której dziedzinę można podzielić na przedziały tak, aby w każdym z nich osobno funkcja była monotoniczna (np. wartość bezwzględna, funkcje trygonometryczne, wielomiany; niektóre wielomiany są funkcjami monotonicznymi). Należy zaznaczyć, że większość funkcji rzeczywistych nie jest przedziałami monotoniczna (np. funkcja Dirichleta).

Dla zachodzą następujące własności:

  • ma granice lewostronną i prawostronną w każdym punkcie dziedziny;
  • ma granicę w nieskończoności (tak jak i ) będącą liczbą rzeczywistą, bądź lub ;
  • może mieć tylko nieciągłości pierwszego rodzaju;
  • może mieć (co najwyżej) przeliczalnie wiele punktów nieciągłości w swojej dziedzinie.

Własności te są zasadniczym powodem, dla którego funkcje monotoniczne są użyteczne w analizie matematycznej. Ważnymi faktami dotyczącymi tych funkcji są:

  • jeżeli jest funkcją monotoniczną na przedziale otwartym , to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna na , tzn. zbiór liczb takich, że nie jest różniczkowalna w jest miary zero Lebesgue'a; w szczególności funkcja różniczkowalna na jest monotoniczna w tym przedziale, gdy jej pochodna nie zmienia tam znaku;
  • jeżeli jest funkcją monotoniczną określoną na przedziale , to jest ona całkowalna w sensie Riemanna.

Ważnym zastosowaniem funkcji monotonicznych jest dystrybuanta zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa:

jest funkcją (słabo) rosnącą.

Funkcja unimodalna to funkcja, której wartości monotonicznie rosną do pewnego punktu (mody), a następnie monotonicznie maleją.

Analiza funkcjonalna[edytuj]

W analizie funkcjonalnej (być może nieliniowy) operator określony na przestrzeni liniowo-topologicznej nazywa się monotonicznym, jeżeli

dla dowolnych zachodzi

Twierdzenie Kaczurowskiego (Качуровский, Kachurowskii) mówi, że pochodne funkcji wypukłych na przestrzeniach Banacha są operatorami monotonicznymi.

Podzbiór zbioru nazywany jest zbiorem monotonicznym, jeżeli dla każdych dwóch par i z jest

Jeżeli jest maksymalnym w sensie inkluzji zbiorem monotonicznym, to mówi się, że jest on maksymalnie monotoniczny. Wykres operatora monotonicznego jest zbiorem monotonicznym. Operator monotoniczny nazywa się maksymalnie monotonicznym, jeżeli jego wykres jest zbiorem maksymalnie monotonicznym.

Teoria porządku[edytuj]

Definicja monotoniczności w teorii porządku ma nieco węższy zakres, niż podana wyżej. Jest to spowodowane faktem, iż rozpatrywane tam zbiory nie muszą być całkowicie (liniowo) uporządkowane: bada się częściowe porządki, a nawet praporządki. Z tego powodu unika się tam wyrażeń „rosnący (słabo/silnie)”, czy „malejący (słabo/silnie)”. O funkcji między zbiorami oraz mówi się, że jest monotoniczna, izotoniczna lub zachowuje porządek, jeżeli

Jeżeli

to funkcję nazywa się antymonotoniczną, antytoniczną lub odwracającą porządek.

Łatwo można się przekonać, że złożenie dwóch funkcji monotonicznych jest funkcją monotoniczną. Funkcja stała jest zarazem monotoniczna i antymonotoniczna; odwrotnie, jeżeli funkcja jest tak monotoniczna, jak i antymonotoniczna, a dziedzina jest kratą, to musi być stała.

Funkcje monotoniczne są morfizmami w kategorii zbiorów częściowo uporządkowanych.

Funkcje boole'owskie[edytuj]

W algebrze Boole'a funkcją monotoniczną nazywa się taką funkcję, że dla wszystkich takich, że dla spełniony jest warunek

Monotoniczne funkcje boole'owskie to dokładnie te funkcje, które mogą być zdefiniowane jako złożenia spójników i (koniunkcji), lub (alternatyw), ale bez nie (negacji).

Liczba takich funkcji zmiennych znana jest jako liczba Dedekinda dla .

Zobacz też[edytuj]