Funkcja multiplikatywna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja multiplikatywna – w teorii liczb funkcję arytmetyczną określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy multiplikatywną, jeżeli dla wszystkich względnie pierwszych liczb spełniony jest warunek

Jeżeli warunek ten spełniony jest dla wszystkich liczb naturalnych i to funkcję nazywamy całkowicie multiplikatywną.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niektóre spośród najważniejszych funkcji multiplikatywnych w teorii liczb to:

  • funkcja φ Eulera, liczba mniejszych liczb naturalnych od które są względnie pierwsze z – innymi słowy, rząd grupy
  • funkcja τ, liczba dodatnich dzielników liczby
  • funkcja σ, suma dodatnich dzielników liczby
  • funkcja Möbiusa,
  • funkcja tożsamościowa,
  • funkcja stale równa 1,
  • element neutralny splotu Dirichleta, dla

Zależność algebraiczna[edytuj | edytuj kod]

Można udowodnić, że dla dowolnej funkcji multiplikatywnej jej wartości są zależne od wartości dla potęg liczb pierwszych:

Jeżeli jest rozkładem na liczby pierwsze liczby to a

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Pierwszą równość otrzymujemy z definicji oraz z faktu, że wszystkie liczby postaci są względnie pierwsze. Ponadto ponieważ z czego wynika druga równość.

Struktura algebraiczna[edytuj | edytuj kod]

Zbiór funkcji multiplikatywnych tworzy grupę przemienną z operacją splotu Dirichleta. Oznacza to między innymi, że splot Dirichleta funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną. Oto niektóre spośród tożsamości wiążących wymienione wyżej funkcje multiplikatywne poprzez operację splotu:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]