Funkcja multiplikatywna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja multiplikatywna – W teorii liczb funkcję arytmetyczną f określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy multiplikatywną, jeżeli dla wszystkich względnie pierwszych liczb m, n spełniony jest warunek

Jeżeli warunek ten spełniony jest dla wszystkich liczb naturalnych m i n, to funkcję f nazywamy całkowicie multiplikatywną.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niektóre spośród najważniejszych funkcji multiplikatywnych w teorii liczb to:

Zależność algebraiczna[edytuj | edytuj kod]

Można udowodnić, że dla dowolnej funkcji multiplikatywnej f jej wartości są zależne od wartości dla potęg liczb pierwszych:

Jeżeli jest rozkładem na liczby pierwsze liczby n, to , a .

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Pierwszą równość otrzymujemy z definicji oraz z faktu, że wszystkie liczby postaci są względnie pierwsze. Ponadto , ponieważ , z czego wynika druga równość.

Struktura algebraiczna[edytuj | edytuj kod]

Zbiór funkcji multiplikatywnych tworzy grupę przemienną z operacją splotu Dirichleta. Oznacza to między innymi, że splot Dirichleta funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną. Oto niektóre spośród tożsamości wiążących wymienione wyżej funkcje multiplikatywne poprzez operację splotu:
μ * 1 = ε;    φ * 1 = Id;    1 * 1 = τ;    Id * 1 = σ;    φ * τ = σ;    σ * μ = Id

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]