Funkcja okresowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „okres (matematyka)”. Zobacz też: inne znaczenia hasła „okres”.

Funkcja okresowafunkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:

Sin proportional.svg

Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania zjawisk okresowych w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w biologii, medycynie, ekonomii i innych dziedzinach nauki.

Definicja dla funkcji liczbowych[edytuj]

Niech oraz niech będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze . Okresem funkcji nazywamy dowolną liczbę różną od zera (niekiedy zakłada się, że ) o następujących własnościach:

  1. dla dowolnej liczby , również liczby należą do (niekiedy opuszcza się warunek )
  2. dla każdego zachodzi równość .

Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją funkcją okresową; funkcję o okresie nazywa się czasem skrótowo funkcją -okresową. Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji istnieje najmniejszy, nazywamy go okresem podstawowym (lub zasadniczym). Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji Dirichleta, danej wzorem

,

okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna i tylko takie liczby są jej okresami.

Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę , dla której wyrażenie ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla , a w konsekwencji i dla , itd. (oraz , itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na przedziale ograniczonym, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku.

Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko dziedzina, ale również wykres funkcji powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku ; kładąc bowiem zamiast w warunku 2, otrzymujemy .

Jeśli T jest okresem, to każda całkowita wielokrotność liczby T też jest okresem funkcji.

Definicja dla półgrup[edytuj]

Niech będzie półgrupą, a funkcją określoną na . Jeśli istnieje taki element w (nie będący elementem neutralnym), że dla dowolnego , to nazywamy go okresem funkcji , a samą funkcję nazywamy okresową.

Zauważmy, że powyższa definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bowiem tym razem nie założyliśmy istnienia odpowiednika liczby . Jeśli jest grupą, to oczywiście warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. ciągi okresowe, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb naturalnych. Zauważmy również, że samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym jakimkolwiek działaniem (tj. niekoniecznie łącznym) oraz że w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej prawy okres od lewego okresu.

Przykłady funkcji okresowych[edytuj]

Przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne (-okresowe sinus, cosinus, secans, cosecans, oraz -okresowe tangens, cotangens), funkcja stała (której okresem jest każda liczba różna od zera), funkcja wykładnicza rozpatrywana na zbiorze liczb zespolonych, której okresem podstawowym jest .

Suma i iloczyn funkcji okresowych o wspólnej dziedzinie i okresie są funkcjami okresowymi o okresie . Okres podstawowy nie musi być zachowany, może się zmniejszyć lub przestać istnieć. Na przykład: .

Jeśli funkcja okresowa o okresie jest różniczkowalna, to jej pochodna również jest funkcją okresową o okresie .

Zobacz też[edytuj]