Funkcja półciągła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Półciągłość – własność funkcji określonych w przestrzeniach metryczych o wartościach rzeczywistych, słabsza od ciągłości.

Wykres funkcji półciągłej z dołu w
Wykres funkcji półciągłej z góry w

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią metryczną, oraz niech dana będzie funkcja

Funkcja jest:

  • półciągła z dołu w punkcie gdy
  • półciągła z góry w punkcie gdy

Funkcja jest półciągła z góry bądź z dołu w zbiorze gdy jest półciągła z góry bądź z dołu w każdym punkcie zbioru

Równoczesna połciągłość z góry i z dołu funkcji jest równoważna warunkowi

a zatem ciągłości funkcji w punkcie Z własności granic wynika, że jest półciągła z góry w wtedy i tylko wtedy, gdy jest półciągła z dołu w

Rozważa się też funkcje półciągłe z góry/z dołu w niemetrycznych przestrzeniach topologicznych.

Warunki równoważne[edytuj | edytuj kod]

Pod powyższymi założeniami następujące warunki są równoważne półciągłości z dołu funkcji w punkcie Warunki równoważne półciągłości z góry formułuje się analogicznie.

  • jeśli oraz to
  • jeśli to
  • jeśli jest punktem skupienia przestrzeni to
  • dla każdego istnieje takie że

Definicję półciągłości rozszerza się czasami na dowolne przestrzenie topologiczne w następujący sposób.

Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz Funkcja

jest półciągła z dołu (odpowiednio: z góry) w punkcie gdy dla każdego istnieje takie otoczenie otwarte punktu że (odpowiednio: ) dla każedgo

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Kombinacja stożkowa funkcji półciągłych z dołu jest półciągła z dołu.
  • Iloczyn nieujemnych funkcji półciągłych z dołu jest półciągły z dołu.
  • Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: Funkcja półciągła z dołu w przestrzeni zwartej osiąga swoje minimum.
  • Twierdzenie Baire’a[1]: Każda funkcja półciągła z dołu w przestrzeni metrycznej jest granicą rosnącego ciągu funkcji ciągłych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Funkcja dana wzorem
jest półciągła z góry w
  • Funkcje podłoga i sufit są półciągłe odpowiednio: z góry i z dołu.
  • Funkcja charakterystyczna zbioru otwartego jest półciągła z dołu.
  • Funkcja charakterystyczna zbioru domkniętego jest półciągła z góry.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. R. Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, professées au collège de France, Gauthier-Villars, 1905.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]