Funkcja produkcji CES

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja produkcji CES (ang. Constant elasticity of substitution) – funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji, którą pierwotnie zaproponował Robert Solow[1], a spopularyzował m.in. Kenneth Arrow[2] jako uogólnienie właściwości funkcji produkcji Cobba-Douglasa.

Dla dwóch czynników – pracy i kapitału – funkcja przyjmuje postać[2]:

gdzie:

są większe od 0,
– kapitał,
– praca,
– elastyczność substytucji,

co jest równoznaczne z zapisem:

gdzie:

stopień jednorodności, zazwyczaj przyjmuje się

Właściwości funkcji[edytuj | edytuj kod]

Funkcja CES jest homogeniczna stopnia Dla jest quasi-wypukła, dla quasi-wklęsła. Dla i jest ściśle wklęsła.

Elastyczność funkcji CES[edytuj | edytuj kod]

Cechuje ją stały wzdłuż izokwanty stosunek procentowej zmiany proporcji czynników produkcji do procentowej zmiany krańcowej stopy technicznej substytucji (MRTS)[3].

po przekształceniu:

Po zlogarytmowaniu obu stron:

Stąd elastyczność substytucji:

Minimalizacja kosztów[edytuj | edytuj kod]

Problem minimalizacji kosztów dla funkcji produkcji CES w postaci można przedstawić jako[4]:

przy warunku:

Wykorzystując metodę mnożników Lagrange’a, uzyskujemy warunki pierwszego rzędu:

Wyznaczamy (1)

i podstawiamy do funkcji produkcji, co daje

Wyznaczamy i podstawiamy do równań z (1):

Powstałe w ten sposób funkcje podstawiamy do funkcji kosztów i otrzymujemy

W ogólnym przypadku, gdzie a za przyjmiemy funkcja kosztów przyjmuje postać:

Szczególne przypadki funkcji CES[edytuj | edytuj kod]

Funkcja Cobba-Douglasa[edytuj | edytuj kod]

W granicy dla i funkcja CES jest tożsama z funkcją Cobba-Douglasa[5]:

Żeby to udowodnić, należy zlogarytmować funkcję CES

i obliczyć jej granicę, używając reguły de l’Hopitala

stąd

Funkcja Leontiefa[edytuj | edytuj kod]

Przy zerowej elastyczności substytucji, czyli funkcja jest z definicji tożsama z funkcją produkcji Leontiefa

Funkcja liniowa[edytuj | edytuj kod]

Przy nieskończonej elastyczności, czyli funkcja CES jest liniowa:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. R.M. Solow, A contribution to the theory of economic growth, „The Quarterly Journal of Economics. 70”, 1956.
  2. a b Samuelson i inni, Paul A. Samuelson, John R. Hicks, Kenneth J. Arrow, Gerard Debreu and Maurice F.C. Allais, Edward Elgar, 2010, ISBN 978-1-78536-225-5, OCLC 763140267 [dostęp 2020-05-01].
  3. Francis Renaud, Theory of Cost and Production Functions. By R. W. Shephard. Princeton: Princeton University Press, 1970. Pp. xi, 308., „The Journal of Economic History”, 31 (3), 1971, s. 721–723, DOI10.1017/s002205070007457x, ISSN 0022-0507 [dostęp 2020-05-01].
  4. Hal R. Varian, Microeconomic analysis, wyd. 3rd ed, New York: Norton, 1992, ISBN 0-393-95735-7, OCLC 24847759 [dostęp 2020-05-01].
  5. Wing Chuen Suen, The structure of economics. A mathematical analysis, wyd. 3rd ed, Boston, Mass.: McGraw-Hill, 2001, ISBN 0-07-234352-4, OCLC 43757632 [dostęp 2020-05-01].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • R.W. Shephard, Theory of cost and production functions, Princeton University Press, Princeton, 1978.
  • P.H. Douglas, Are there laws of production?, „American Economic Review”, 1948.
  • M. Fuss, D. McFadden, Production economics: a dual approach to theory and application, North-Holland, Amsterdam, 1980.
  • Hal R. Varian, Microeconomic analysis, 3rd ed, New York: Norton, 1992.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]