Funkcja symetryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja symetryczna – termin matematyczny oznaczający dwa różne pojęcia.

Funkcją symetryczną n zmiennych nazywa się taką funkcję, która dla dowolnego n-elementowego ciągu argumentów daje tę samą wartość, co dla dowolnej permutacji tego ciągu argumentów. Choć definicja ta obowiązuje dla funkcji, których n argumentów należy do tego samego zbioru, to zwykle dotyczy funkcji wielomianowych, które nazywane są wówczas wielomianami symetrycznymi. Teoria niewielomianowych funkcji symetrycznych n zmiennych jest bardzo słabo rozwinięta, tak więc pojęcie to jest rzadko używane w sensie ogólnym i pojawia się właściwie wyłącznie w definicji.

W algebrze, a szczególnie w kombinatoryce algebraicznej, terminu „funkcja symetryczna” używa się często w odniesieniu do elementów pierścienia funkcji symetrycznych, gdzie pierścień ten jest swoistą granicą wielomianów symetrycznych n zmiennych przy n dążącym do nieskończoności. Ma on zastosowanie jako uniwersalna struktura, w której relacje między wielomianami symetrycznymi dają się wyrazić w sposób niezależny od liczby zmiennych (jego elementy nie są jednak ani wielomianami, ani funkcjami). Pierścień ten odgrywa m.in. ważną rolę w teorii reprezentacji grup symetrycznych.

Więcej informacji o tych znaczeniach można znaleźć w artykułach o wielomianach symetrycznych i pierścieniach funkcji symetrycznych; pozostała część tego artykułu dotyczy ogólnych własności funkcji symetrycznych n zmiennych.

Symetryzacja[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: symetryzacja.

Daną funkcję n zmiennych o wartościach w grupie abelowej, dalej oznaczaną symbolem f, można przekształcić w funkcję symetryczną sumując ją względem wszystkich permutacji jej argumentów. Podobnie można przekształcić ją w funkcję antysymetryczną sumując względem permutacji parzystych, a następnie odejmując sumę permutacji nieparzystych. Operacje te są oczywiście nieodwracalne i mogą dać w wyniku dla nietrywialnych funkcji f funkcję tożsamościowo równą zeru. Jedynym ogólnym przypadkiem, w którym można odzyskać f jest, gdy tak jej symetryzacja jak i antysymetryzacja są znane przy n = 2, a grupa abelowa umożliwia dzielenie przez 2 (odwrotność podwojenia); wówczas f jest równa połowie sumy jej symetryzacji i antysymetryzacji (por. rozkład funkcji na część parzystą i nieparzystą).