Funkcja symetryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja symetryczna – termin matematyczny oznaczający dwa różne pojęcia.

Funkcją symetryczną zmiennych nazywa się taką funkcję, która dla dowolnego -elementowego ciągu argumentów daje tę samą wartość, co dla dowolnej permutacji tego ciągu argumentów. Choć definicja ta obowiązuje dla funkcji, których argumentów należy do tego samego zbioru, to zwykle dotyczy funkcji wielomianowych, które nazywane są wówczas wielomianami symetrycznymi. Teoria niewielomianowych funkcji symetrycznych zmiennych jest bardzo słabo rozwinięta, tak więc pojęcie to jest rzadko używane w sensie ogólnym i pojawia się właściwie wyłącznie w definicji.

W algebrze, a szczególnie w kombinatoryce algebraicznej, terminu „funkcja symetryczna” używa się często w odniesieniu do elementów pierścienia funkcji symetrycznych, gdzie pierścień ten jest swoistą granicą wielomianów symetrycznych zmiennych przy dążącym do nieskończoności. Ma on zastosowanie jako uniwersalna struktura, w której relacje między wielomianami symetrycznymi dają się wyrazić w sposób niezależny od liczby zmiennych (jego elementy nie są jednak ani wielomianami, ani funkcjami). Pierścień ten odgrywa m.in. ważną rolę w teorii reprezentacji grup symetrycznych.

Więcej informacji o tych znaczeniach można znaleźć w artykułach o wielomianach symetrycznych i pierścieniach funkcji symetrycznych; pozostała część tego artykułu dotyczy ogólnych własności funkcji symetrycznych zmiennych.

Symetryzacja[edytuj]

 Osobny artykuł: symetryzacja.

Daną funkcję zmiennych o wartościach w grupie abelowej, dalej oznaczaną symbolem można przekształcić w funkcję symetryczną sumując ją względem wszystkich permutacji jej argumentów. Podobnie można przekształcić ją w funkcję antysymetryczną sumując względem permutacji parzystych, a następnie odejmując sumę permutacji nieparzystych. Operacje te są oczywiście nieodwracalne i mogą dać w wyniku dla nietrywialnych funkcji funkcję tożsamościowo równą zeru. Jedynym ogólnym przypadkiem, w którym można odzyskać jest, gdy tak jej symetryzacja jak i antysymetryzacja są znane przy a grupa abelowa umożliwia dzielenie przez (odwrotność podwojenia); wówczas jest równa połowie sumy jej symetryzacji i antysymetryzacji (por. rozkład funkcji na część parzystą i nieparzystą).