Funkcja tworząca momenty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja tworząca (generująca) momenty zmiennej losowej jest zdefiniowana wzorem

Używając teorii związanej z funkcją tworzącą momenty, wyprowadza się wiele oszacowań w rachunku prawdopodobieństwa. Klasyczną nierównością, w której występuje funkcja tworząca momenty, jest nierówność Chernoffa.

Funkcja nazywana jest funkcją generującą kumulanty. Kumulanty zmiennej losowej to wielkości spełniające własność:

Własności[edytuj | edytuj kod]

Funkcji tworzącej momenty można użyć, by obliczyć dowolny moment zmiennej losowej. Gdy rozwiniemy funkcję tworzącą momenty w szereg Taylora, otrzymamy:

Jeśli zróżniczkujemy całe wyrażenie -krotnie po i podstawimy otrzymamy -ty moment zmiennej losowej

Przykład: Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość oczekiwaną (pierwszy moment) zmiennej losowej o rozkładzie Poissona z parametrem Funkcja generująca momenty dla rozkładu Poissona to

Gdy policzymy pierwszą pochodną po otrzymamy

Teraz, gdy podstawimy otrzymamy:

Inna własność jest następująca: jeśli

jest sumą niezależnych zmiennych losowych ( to stałe), to funkcją generującą momenty dla jest:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]