Funkcja tworząca momenty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja tworząca (generująca) momenty zmiennej losowej jest zdefiniowana wzorem .

Używając teorii związanej z funkcją tworzącą momenty wyprowadza się wiele oszacowań w rachunku prawdopodobieństwa. Klasyczną nierównością, w której występuje funkcja tworząca momenty, jest nierówność Chernoffa.

Funkcja nazywana jest funkcją generującą kumulanty. Kumulanty zmiennej losowej X to wielkości spełniające własność:

.

Własności[edytuj]

Funkcji tworzącej momenty można użyć, by obliczyć dowolny moment zmiennej losowej. Gdy rozwiniemy funkcję tworzącą momenty w szereg Taylora, otrzymamy:

Jeśli zróżniczkujemy całe wyrażenie i-krotnie po t, i podstawimy t=0 , otrzymamy i-ty moment zmiennej losowej X.

Przykład: Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość oczekiwaną (pierwszy moment) zmiennej losowej X o rozkładzie Poissona z parametrem λ . Funkcja generująca momenty dla rozkładu Poissona to

Gdy policzymy pierwszą pochodną po t otrzymamy

Teraz, gdy podstawimy t = 0 otrzymamy:

Inna własność jest następująca: jeśli

jest sumą n niezależnych zmiennych losowych (a to stałe), to funkcją generującą momenty dla Y jest:

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]