Funkcja tworząca momenty silni

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja tworząca momenty silni rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o wartościach rzeczywistych jest zdefiniowana jako

dla wszystkich liczb zespolonych t , dla których ta Wartość oczekiwana istnieje. Tak jest w przypadku co najmniej dla wszystkich t na okręgu jednostkowym , patrz funkcja charakterystyczna. Jeśli X jest dyskretną zmienną losową przyjmującą wartości jedynie ze zbioru {0,1, ...} nieujemnych liczb całkowitych, wtedy nazywana jest również funkcją tworzącą prawdopodobieństwa X i jest dobrze zdefiniowaną co najmniej dla wszystkich t w zamkniętym jednostkowym dysku .

Funkcja tworząca momenty silni tworzy momenty silni rozkładu prawdopodobieństwa. Pod warunkiem że istnieje w sąsiedztwie t = 1, n-ty moment silni jest dany przez[1]

gdzie symbol Pochhammera (x) n, oznacza silnię dolną

(Uwaga: niektórzy matematycy, zwłaszcza w dziedzinie funkcji specjalnych, używają tej samej notacji do reprezentowania silni górnej).

Przykład[edytuj]

Przyjmijmy że X ma Rozkład Poissona z wartością oczekiwaną λ, wtedy jej funkcja tworząca momenty silni jest

(korzystamy z definicji funkcji wykładniczej), a więc mamy

Zobacz też[edytuj]

Przypisy