Funkcja tworząca prawdopodobieństwa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja tworząca prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej – przedstawienie szeregu potęgowego (funkcji tworzącej) funkcji masy prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Funkcje tworzące prawdopodobieństwa są często wykorzystywane ze względu na ich zwięzły opis ciągu prawdopodobieństw w funkcji rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej oraz do połączenia z dobrze rozwiniętą teorią szeregów potęgowych z nieujemnymi współczynnikami.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Przypadek jednowymiarowy[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest dyskretną zmienną losową o wartościach ze zbioru nieujemnych liczb całkowitych to funkcja tworząca prawdopodobieństwo X jest definiowana jako[1]

Indeksy w oznaczeniach i są często używane do podkreślenia, że te oznaczenia odnoszą się do konkretnej zmiennej losowej i do jej rozkładu. Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie co najmniej dla wszystkich liczb zespolonych takich że W wielu przykładach promień zbieżności jest większy.

Przypadek wielowymiarowy[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest dyskretną zmienną losową o wartościach w -wymiarowej kracie nieujemnych liczb całkowitych wtedy funkcję tworząca prawdopodobieństwa X jest zdefiniowana jako

gdzie jest funkcją masy prawdopodobieństwa Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie co najmniej na wszystkich złożonych wektorach z

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Szeregi potęgowe[edytuj | edytuj kod]

Funkcje tworzące prawdopodobieństwo spełniają wszystkie warunki szeregów potęgowych o współczynnikach nieujemnych. W szczególności, gdzie od dołu, ponieważ prawdopodobieństwa muszą sumować się do jedynki. Wynika z tego, że promień zbieżności każdej funkcji tworzącej prawdopodobieństwa musi być równy co najmniej 1 na mocy twierdzenia Abela dla szeregów potęgowych o nieujemnych współczynnikach.

Prawdopodobieństwa i wartości oczekiwane[edytuj | edytuj kod]

Następujące własności pozwalają na wyprowadzenie różnych podstawowych wielkości związanych z

1. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa można wyznaczyć za pomocą pochodnej

2. Z Własności 1 wynika, że jeśli zmienne losowe i mają równe funkcje tworzące prawdopodobieństwa, to To znaczy, że jeśli i mają funkcje tworzące prawdopodobieństwa, to mają identyczne rozkłady.

3. Normalizacja funkcji gęstości prawdopodobieństwa może być wyrażona poprzez funkcje tworzące wzorem:

Wartość oczekiwana jest wyrażona jako

Bardziej ogólnie, -ty moment silni jest dany przez

Więc wariancja jest wyrażona przez

4. gdzie jest zmienną losową, funkcją tworzącą prawdopodobieństwa, a jest funkcją tworzącą momenty.

Funkcje niezależnych zmiennych losowych[edytuj | edytuj kod]

Funkcje tworzące prawdopodobieństwo są szczególnie przydatne przy zajmowaniu się funkcjami niezależnych zmiennych losowych. Na przykład:

  • Jeśli jest ciągiem niezależnych (i niekoniecznie o identycznym rozkładzie) zmiennych losowych i
gdzie ai są stałymi, wtedy funkcja tworząca prawdopodobieństwa jest dana przez
Na przykład jeśli
to funkcja tworząca prawdopodobieństwa jest dana przez
Z powyższego wynika również, że funkcja tworząca prawdopodobieństwa różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest
  • Przypuśćmy, że jest także niezależną dyskretną zmienną losową przyjmującą wartości nieujemnych liczb całkowitych, z funkcją tworzącą prawdopodobieństwa Jeśli są niezależnymi i o identycznych rozkładach ze wspólną funkcją tworzącą prawdopodobieństwa wtedy
Można to zobaczyć, stosując twierdzenie o całkowitej wartości oczekiwanej, jak następuje:
Ten ostatni fakt jest przydatny w badaniach procesu Galtona-Watsona.
  • Przypuśćmy znowu że jest także niezależną, dyskretna zmienną losową o wartości ze zbioru nieujemnych liczb całkowitych, z funkcją tworzącą prawdopodobieństwa Jeżeli są niezależnymi zmiennymi losowymi, ale nie o identycznych rozkładach, gdzie oznacza funkcję tworzącą prawdopodobieństwa wtedy
Dla o identycznych rozkładach to upraszcza się do tożsamości powyżej. Ogólny przypadek jest czasami przydatny do uzyskania dekompozycji poprzez funkcje tworzące.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Funkcja tworząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej stałej równej to znaczy jest
  • Funkcja tworząca prawdopodobieństwa dwumianowej zmiennej losowej, liczba sukcesów w próbach z prawdopodobieństwem sukcesu w każdej próbie, jest
Należy pamiętać, że jest to -krotny funkcji tworzącej prawdopodobieństwa losowej zmiennej Bernoulliego z parametrem
  • Funkcja tworząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej dwumianowej ujemnej, liczba niepowodzeń które nastąpiły przed -tym sukcesem z prawdopodobieństwem sukcesu w każdej próbie, jest
Pamiętajmy że jest to -krotny produkt funkcji tworzącej prawdopodobieństwa geometrycznej zmiennej losowej.

Pojęcia pokrewne[edytuj | edytuj kod]

Funkcja tworząca prawdopodobieństwa jest przykładem funkcji tworzącej ciąg: zobacz także formalne szeregi potęgowe. Jest to czasem nazywane transformatą Z funkcji masy prawdopodobieństwa.

Inne funkcje tworzące zmiennych losowych obejmują funkcję generowania momentów, funkcję charakterystyczną i funkcję tworzącą kumulanty.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]