Funkcja uwikłana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja uwikłanafunkcja jednej lub wielu zmiennych, która nie jest przedstawiona jako jawna zależność w rodzaju ale jako pewne równanie pomiędzy wieloma zmiennymi przedstawione jako [1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będą przestrzeniami unormowanymi, oraz będzie ciągła. Każdą funkcję gdzie jest pewnym podzbiorem spełniającą dla każdego równanie nazywamy funkcją uwikłaną funkcji albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania względem

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpo­wiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta tego punktu równa jest Parametr oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej odpowiada innej chwili Można więc mówić o funkcji która przypisuje każdej pozycji punktu cykloidy wartość – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji Funkcja nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci jest to funkcja uwikłana przez równanie
  • Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprze­wodni­kowej. Niech oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem na oporniku i płynącym przezeń prądem 
gdzie oznacza wartość rezystancji.
Związek pomiędzy napięciem panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:
w którym – stałe charakte­rystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś podstawa logarytmu naturalnego.
Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:
To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu
Natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie

Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej[edytuj | edytuj kod]

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji która jest określona w pewnym otoczeniu punktu spełnia w tym otoczeniu warunek oraz Jest to możliwe tylko wtedy, gdy i są tak dobrane, że Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej[edytuj | edytuj kod]

Niech będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli jest zbiorem otwartym, a funkcją klasy i dla pewnego punktu

oraz pochodna cząstkowa

to istnieją liczby i oraz funkcja klasy że

  1. dla każdego punktu jedynym punktem spełniającym równanie jest punkt

Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej[edytuj | edytuj kod]

Niech będą przestrzeniami Banacha, będzie zbiorem otwartym oraz funkcją klasy taką, że różniczka cząstkowa dla każdego Dalej niech dana będzie funkcja ciągła gdzie jest podzbiorem otwartym przestrzeni Jeżeli dla każdego

oraz

to jest funkcją klasy i dla każdego różniczka:

Funkcje rzeczywiste[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja jest klasy i dla pewnego punktu spełnia warunki:

oraz

to w pewnym otoczeniu punktu istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła spełniająca warunki oraz dla z tego otoczenia.

Ponadto jeśli w otoczeniu punktu istnieje ciągła pochodna cząstkowa to funkcja uwikłana ma ciągłą pochodną daną wzorem

Inne twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech będą przestrzeniami Banacha, będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli są funkcjami klasy takimi, że

  1. jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera że

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  • Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005.
  • Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. Math. Z., 262 (2009), no. 3, s. 627–643.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]