Funkcja uwikłana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja uwikłanafunkcja jednej lub wielu zmiennych, która nie jest przedstawiona jako jawna zależność w rodzaju , ale jako pewne równanie pomiędzy wieloma zmiennymi przedstawione jako [1].

Definicja[edytuj]

Niech będą przestrzeniami unormowanymi, oraz będzie ciągła. Każdą funkcję , gdzie jest pewnym podzbiorem , spełniającą dla każdego równanie nazywamy funkcją uwikłaną funkcji albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie .

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania względem .

Przykłady[edytuj]

  • Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpo­wiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta tego punktu równa jest . Parametr oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej odpowiada innej chwili . Można więc mówić o funkcji , która przypisuje każdej pozycji punktu cykloidy wartość – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji . Funkcja nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci jest to funkcja uwikłana przez równanie .
  • Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprze­wodni­kowej. Niech oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe , zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: . Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem na oporniku i płynącym przezeń prądem  ,

,

gdzie oznacza opór opornika.

Związek pomiędzy napięciem panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:

,

w którym – stałe charakte­rystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś podstawa logarytmu naturalnego.

Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:

,

To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu

().

Natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie ().

Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej[edytuj]

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji , która jest określona w pewnym otoczeniu punktu , spełnia w tym otoczeniu warunek oraz . Jest to możliwe tylko wtedy, gdy i są tak dobrane, że . Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej[edytuj]

Niech będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli jest zbiorem otwartym, a funkcją klasy i dla pewnego punktu

oraz pochodna cząstkowa ,

to istnieją liczby i oraz funkcja klasy , że

  1. ,
  2. dla każdego punktu jedynym punktem spełniającym równanie jest punkt .

Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej[edytuj]

Niech będą przestrzeniami Banacha, będzie zbiorem otwartym oraz funkcją klasy taką, że różniczka cząstkowa dla każdego . Dalej niech dana będzie funkcja ciągła , gdzie jest podzbiorem otwartym przestrzeni . Jeżeli dla każdego

oraz ,

to jest funkcją klasy i dla każdego różniczka:

.

Funkcje rzeczywiste[edytuj]

Niech będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja jest klasy i dla pewnego punktu spełnia warunki:

oraz ,

to w pewnym otoczeniu punktu istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła , spełniająca warunki oraz dla z tego otoczenia.

Ponadto, jeśli w otoczeniu punktu istnieje ciągła pochodna cząstkowa , to funkcja uwikłana ma ciągłą pochodną daną wzorem

.

Inne twierdzenia[edytuj]

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech będą przestrzeniami Banacha, będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli są funkcjami klasy takimi, że

  1. ,
  2. ,
  3. jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera , że

.

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  2. Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005.
  3. Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. Math. Z., 262 (2009), no. 3, 627-643.

Linki zewnętrzne[edytuj]