Funkcja uwikłana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja uwikłanafunkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości funkcji od jej argumentu, lecz bardziej złożonym związkiem, który nie daje się prosto przekształcić na jawny wzór.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X,Y\; będą przestrzeniami unormowanymi, D\subseteq X\times Y oraz f\colon D\to Y będzie ciągła. Każdą funkcję \varphi\colon U\to Y, gdzie U\; jest pewnym podzbiorem X\;, spełniającą dla każdego x\in U równanie f(x,\varphi(x))=0\; nazywamy funkcją uwikłaną funkcji f\; albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie f(x,y)=0\;.

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania f(x,y)=0\; względem y\;.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpo­wiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta x\; tego punktu równa jest x = r \cdot ( t - \sin t ). Parametr t\; oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość t\; utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej x\; odpowiada innej chwili t\;. Można więc mówić o funkcji \varphi\;, która przypisuje każdej pozycji punktu x\; cykloidy wartość t\; – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji x\;. Funkcja \varphi nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci t = \varphi \left( x \right) jest to funkcja uwikłana przez równanie x = r \cdot ( t - \sin t ).
  • Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprze­wodni­kowej. Niech U\; oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś I\; natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe I\;, zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: U=U_d+U_r\;. Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem U_r\; na oporniku i płynącym przezeń prądem  I,

{\color{white}-}I = \frac {U_r}{R} ,

gdzie R\; oznacza opór opornika.

Związek pomiędzy napięciem U_d\; panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:

{\color{white}-}I = I_S \cdot \left( e^{\frac{U_d}{c}} -1 \right),

w którym I_S, c\; – stałe charakte­rystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś e\;podstawa logarytmu naturalnego.

Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:

{\color{white}-}U_r = I \cdot R,

{\color{white}-}U_d = c \cdot \ln \left( \frac {I}{I_S} + 1 \right)

To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem U\; przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu I

{\color{white}-}U = I \cdot R + c \cdot \ln \left( \frac{I}{I_S} + 1 \right) (\star).

Natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie (\star).

Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej[edytuj | edytuj kod]

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji y=\varphi(x), która jest określona w pewnym otoczeniu punktu x=x_0\;, spełnia w tym otoczeniu warunek f(x,\varphi(x))=0\; oraz \varphi(x_0)=y_0\;. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy x_0\; i y_0\; są tak dobrane, że f(x_0,y_0)=0\;. Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej[edytuj | edytuj kod]

Niech X,Y\; będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli D\subseteq X\times Y jest zbiorem otwartym, a f\colon D\to Y funkcją klasy C_1\; i dla pewnego punktu (x_0,y_0)\in D

f(x_0,y_0)=0\; oraz pochodna cząstkowa \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in\operatorname{Isom}(Y;Y),

to istnieją liczby \delta>0\; i \eta>0\; oraz funkcja \varphi\colon k(x_0,\delta)\to k(y_0, \eta) klasy C_1\;, że

  1. k(x_0,\delta)\times k(y_0,\eta)\subseteq D,
  2. dla każdego punktu x\in k(x_0, \delta) jedynym punktem y\in k(y_0, \eta) spełniającym równanie f(x,y)=0\; jest punkt y=\varphi(x)\;.

Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej[edytuj | edytuj kod]

Niech X,Y\; będą przestrzeniami Banacha, D\subseteq X\times Y będzie zbiorem otwartym oraz f\colon D\to Y funkcją klasy C_1 taką, że różniczka cząstkowa \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in\operatorname{Isom}(Y;Y) dla każdego (x,y)\in D. Dalej niech dana będzie funkcja ciągła \psi\colon U\to Y, gdzie U jest podzbiorem otwartym przestrzeni X\;. Jeżeli dla każdego x\in U\;

(x,\psi(x))\in D oraz f(x,\psi(x))=0\;,

to \psi jest funkcją klasy C_1\; i dla każdego x\in U różniczka:

d \psi (x)=-\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,\psi(x))\right)^{-1}\circ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\psi(x)).

Funkcje rzeczywiste[edytuj | edytuj kod]

Niech D\subseteq \mathbb{R}^2 będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja f\colon D\to \mathbb{R} jest klasy C_1\; i dla pewnego punktu (x_0,y_0)\in D spełnia warunki:

f(x_0,y_0)=0\; oraz \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0,

to w pewnym otoczeniu punktu x_0\; istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła y=\varphi(x)\;, spełniająca warunki y_0=\varphi(x_0)\; oraz f(x,\varphi(x))=0\; dla x\; z tego otoczenia.

Ponadto, jeśli w otoczeniu punktu (x_0,y_0)\; istnieje ciągła pochodna cząstkowa \frac{\partial f}{\partial x}, to funkcja uwikłana y=\varphi(x) ma ciągłą pochodną daną wzorem

\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}.

Inne twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech  X,Y,Z \; będą przestrzeniami Banacha, U\subseteq X, V\subseteq Y będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli \varphi\colon U\to V, \psi\colon V\to Z są funkcjami klasy C_1\; takimi, że

  1. \varphi(0)=0, \psi(0)=0\;,
  2. \varphi\circ \psi\equiv 0,
  3. \operatorname{im}\;d\varphi(0)=\operatorname{ker}\;d\psi(0)
  4. \operatorname{im}\;d\psi(0) jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera W\subseteq V, że

\psi^{-1}(0)\cap W=\varphi(U)\cap W.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  2. Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005.
  3. Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. Math. Z., 262 (2009), no. 3, 627-643.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]