Funkcja wymierna
Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych[1]. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.
Definicje
[edytuj | edytuj kod]Niech i będą funkcjami wielomianowymi:
Ich współczynniki mogą być prawie dowolnymi liczbami rzeczywistymi, zespolonymi lub należeć do innej struktury algebraicznej nazywanej ciałem. Jedynym ograniczeniem jest wymóg, że nie jest funkcją zerową: tzn. co najmniej jeden ze współczynników jest różny od zera. Wtedy funkcję
nazywa się funkcją wymierną[a]. Jej dziedziną jest dziedzina funkcji z wyłączeniem miejsc zerowych funkcji
Jeśli stopień licznika jest niższy niż mianownika – czyli w tej notacji – to funkcję wymierną nazywa się właściwą[2].
Przykłady i zastosowania
[edytuj | edytuj kod]- Funkcja jest wymierna.
- Wyrażenie nie jest wymierne, stąd funkcja je realizująca również nie jest wymierna.
- Dowolny wielomian (funkcja wielomianowa) jest wyrażeniem wymiernym (funkcją wymierną).
- Jeśli jest dowolnym wielomianem, a jest wielomianem stałym (jest zerowego stopnia), to wyrażenie wymierne również jest wielomianem. Zdanie to jest również prawdziwe dla funkcji wielomianowych i wymiernych reprezentujących wielomiany i wyrażenia wymierne.
- Funkcja jest wymierna. Jeżeli to nazywa się ją funkcją homograficzną (dla jest to funkcja liniowa).
- Pochodną funkcji arcus tangens jest funkcja wymierna, która może być użyta np. do przybliżania tej pierwszej.
- Rozkład Cauchy’ego w probabilistyce i statystyce,
- W optyce współczynnik załamania (gęstość optyczna) w ośrodkach dyspersyjnych jest często wymierną funkcją długości fali.
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Zbiór funkcji wymiernych z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem. Działania na funkcjach wymiernych wykonuje się podobnie do działań na zwykłych ułamkach. Dokładniej, jeśli jest pierścieniem całkowitym oraz jego pierścieniem wielomianów, to jest ciałem ułamków pierścienia
- Zbiór funkcji wymiernych jest K-algebrą.
- Złożenie funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.
- Dowolna funkcja wymierna (nad ciałem liczb zespolonych) jest funkcją meromorficzną
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ W wielu źródłach funkcję wymierną definiuje się ogólniej jako funkcję wielu zmiennych. Np. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka, NT, Warszawa 2000.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ funkcje wymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ Żakowski 1972 ↓, s. 81.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Wojciech Żakowski: funkcja wymierna [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Polskojęzyczne
Funkcja wymierna, serwis „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-05-16].
Nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-08-28]:
- Szymon Charzyński, Przebieg zmienności funkcji wymiernej, 6 lipca 2013.
- Piotr Stachura, Asymptoty poziome i pionowe funkcji wymiernej, 5 lipca 2014.
- Szymon Charzyński, Analiza – całkowanie funkcji wymiernych, 18 lutego 2021.
- Anglojęzyczne
- Eric W. Weisstein , Rational Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Rational function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].