Funkcja wymierna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja wymiernafunkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeśli

g(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0
h(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0

funkcjami wielomianowymi o współczynnikach z dowolnego ciała K, przy czym h(x) \not\equiv 0 (tj. nie wszystkie b_i\, są zerami), to funkcję

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)},

nazywa się funkcją wymierną[1].

Dziedziną funkcji f(x) jest dziedzina funkcji g(x) z wyłączeniem miejsc zerowych funkcji h(x).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Funkcja f(x) = \tfrac{2(1 + 3x)}{3(1-x)^2} jest wymierna.
  • Wyrażenie (1 + x)^y nie jest wymierne, stąd funkcja je realizująca również nie jest wymierna.
  • Dowolny wielomian (funkcja wielomianowa) jest wyrażeniem wymiernym (funkcją wymierną).
  • Jeśli g jest dowolnym wielomianem, a h jest wielomianem stałym (jest zerowego stopnia), to wyrażenie wymierne f = \tfrac{g}{h} również jest wielomianem. Zdanie to jest również prawdziwe dla funkcji wielomianowych i wymiernych reprezentujących wielomiany i wyrażenia wymierne.
  • Funkcja f(x) = \tfrac{ax + b}{cx + d} jest wymierna. Jeżeli ad - bc \neq 0 to nazywa się ją funkcją homograficzną (dla c = 0 jest to funkcja liniowa).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Wikibooks-logo.svg
Zobacz publikację na Wikibooks:
Funkcje wymierne
WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło funkcja wymierna w Wikisłowniku

Przypisy

  1. w wielu źródłach funkcję wymierną definiuje się ogólniej jako funkcję wielu zmiennych. Np. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka NT W-wa 2000