Funkcja wymierna
Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych[1]. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.
Definicja[edytuj | edytuj kod]
Jeśli
są funkcjami wielomianowymi o współczynnikach z dowolnego ciała przy czym (tj. nie wszystkie są zerami), to funkcję
nazywa się funkcją wymierną[a].
Dziedziną funkcji jest dziedzina funkcji z wyłączeniem miejsc zerowych funkcji
Przykłady i zastosowania[edytuj | edytuj kod]
- Funkcja jest wymierna.
- Wyrażenie nie jest wymierne, stąd funkcja je realizująca również nie jest wymierna.
- Dowolny wielomian (funkcja wielomianowa) jest wyrażeniem wymiernym (funkcją wymierną).
- Jeśli jest dowolnym wielomianem, a jest wielomianem stałym (jest zerowego stopnia), to wyrażenie wymierne również jest wielomianem. Zdanie to jest również prawdziwe dla funkcji wielomianowych i wymiernych reprezentujących wielomiany i wyrażenia wymierne.
- Funkcja jest wymierna. Jeżeli to nazywa się ją funkcją homograficzną (dla jest to funkcja liniowa).
- Pochodną funkcji arcus tangens jest funkcja wymierna, która może być użyta np. do przybliżania tej pierwszej.
- Rozkład Cauchy’ego w probabilistyce i statystyce,
- W optyce współczynnik załamania (gęstość optyczna) w ośrodkach dyspersyjnych jest często wymierną funkcją długości fali.
Własności[edytuj | edytuj kod]
- Zbiór funkcji wymiernych z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem. Działania na funkcjach wymiernych wykonuje się podobnie do działań na zwykłych ułamkach. Dokładniej, jeśli jest pierścieniem całkowitym oraz jego pierścieniem wielomianów, to jest ciałem ułamków pierścienia
- Zbiór funkcji wymiernych jest K-algebrą.
- Złożenie funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.
- Dowolna funkcja wymierna (nad ciałem liczb zespolonych) jest funkcją meromorficzną
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Uwagi[edytuj | edytuj kod]
- ↑ W wielu źródłach funkcję wymierną definiuje się ogólniej jako funkcję wielu zmiennych. Np. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka, NT, Warszawa 2000.
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ funkcje wymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-02] .