Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów.

Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) – funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i "na". Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

Definicja formalna

W teorii mnogości bijekcja definiowana jest jako podzbiór $f\subseteq X\times Y$$f\subseteq X\times Y$ iloczynu kartezjańskiego zbiorów $X$$X$ i $Y$$Y$, który spełnia następujące warunki:

• $\forall _{x\in X}\;\exists _{y\in Y}\quad x\;f\;y$$\forall _{{x\in X}}\;\exists _{{y\in Y}}\quad x\;f\;y$.
• $\forall _{y\in Y}\;\exists _{x\in X}\quad x\;f\;y$$\forall _{{y\in Y}}\;\exists _{{x\in X}}\quad x\;f\;y$.
• $\forall _{x,y\in X}\;\forall _{z\in Y}\quad x\;f\;z\land y\;f\;z\implies x=y$$\forall _{{x,y\in X}}\;\forall _{{z\in Y}}\quad x\;f\;z\land y\;f\;z\implies x=y$.
• $\forall _{x\in X}\;\forall _{y,z\in Y}\quad x\;f\;y\land x\;f\;z\implies y=z$$\forall _{{x\in X}}\;\forall _{{y,z\in Y}}\quad x\;f\;y\land x\;f\;z\implies y=z$.

Słownie: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny i odwrotnie.

Wnioski

• Przeciwdziedzina jest równa obrazowi funkcji, $Y=f(X)$$Y=f(X)$.
• Funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna – również i ona jest bijekcją.

Grupa bijekcji

Ponieważ działanie składania bijekcji danego zbioru (na siebie) jest łączne i jest ono automorfizmem, a każda bijekcja posiada jednoznacznie określoną do niej funkcję odwrotną, to wówczas spełnione są aksjomaty grupy. Grupę taką nazywa się grupą bijekcji tego zbioru i są to historycznie pierwsze rozważane grupy.

Zobacz też

• funkcja różnowartościowa (iniekcja)
• funkcja "na" (suriekcja)
• izomorfizm