Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów.

Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) – funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i "na". Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

Definicja formalna

W teorii mnogości bijekcja definiowana jest jako podzbiór $f \subseteq X \times Y$ iloczynu kartezjańskiego zbiorów $X$ i $Y$, który spełnia następujące warunki:

• $\forall_{x \in X}\; \exists_{y \in Y}\quad x \;f\; y$.
• $\forall_{y \in Y}\; \exists_{x \in X}\quad x \;f\; y$.
• $\forall_{x,y \in X}\; \forall_{z \in Y}\quad x \;f\; z \and y \;f\; z \implies x = y$.
• $\forall_{x \in X}\; \forall_{y, z \in Y}\quad x \;f\; y \and x \;f\; z \implies y = z$.

Słownie: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny i odwrotnie.

Wnioski

• Przeciwdziedzina jest równa obrazowi funkcji, $Y = f(X)$.
• Funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna – również i ona jest bijekcją.

Grupa bijekcji

Ponieważ działanie składania bijekcji danego zbioru (na siebie) jest łączne i jest ono automorfizmem, a każda bijekcja posiada jednoznacznie określoną do niej funkcję odwrotną, to wówczas spełnione są aksjomaty grupy. Grupę taką nazywa się grupą bijekcji tego zbioru i są to historycznie pierwsze rozważane grupy.

Zobacz też

• funkcja różnowartościowa (iniekcja)
• funkcja "na" (suriekcja)
• izomorfizm