Funkcje Bessela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje Bessela – rozwiązania y(x) równania różniczkowego drugiego stopnia ze zmiennymi współczynnikami (równania Bessela):

gdzie α jest dowolną liczbą rzeczywistą. Zostały po raz pierwszy podane przez szwajcarskiego matematyka Daniela Bernoulliego.

Szczególnym przypadkiem, o szerokim zastosowaniu (m.in. w analizie rozkładu pola elektromagnetycznego czy przetwarzaniu sygnałów) są równania, gdzie α jest liczbą naturalną n, zwaną rzędem funkcji Bessela.

Ponieważ mamy do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego stopnia, musimy otrzymać dwa liniowo niezależne rozwiązania.

Funkcje Bessela pierwszego rodzaju[edytuj]

Z funkcjami tymi mamy do czynienia, jeśli wartości rozwiązania przy x=0 są liczbami skończonymi:

,

gdzie Γ to funkcja gamma Eulera.

Wykres funkcji Bessela pierwszego rodzaju, rzędu 0, 1 i 2

Zera funkcji Bessela[edytuj]

W zastosowaniach przydatna jest znajomość położenia zer funkcji Bessela. Poniżej przedstawiono tabelę pierwszych trzech miejsc zerowych funkcji , i

1 2.4048 0 0
2 5.5201 3.8317 5.136
3 8.6537 7.0156 8.417

Całki Bessela [1]

Funkcje Bessela, dla całkowitych wartości , zdefiniować można za pomocą całki:

Takie podejście stosował Bessel i stosująć tę definicję wyprowadził szereg właściwości tych funkcji.

Zbliżona do poprzedniej jest poniższa definicja całkowa:

Powyższa całka może być przekształcona do postaci

W szczególności dla

Rozwinięcie w szereg potęgowy[edytuj]

Funkcje Bessela drugiego rodzaju[edytuj]

Zwane są również funkcjami Neumanna i występują wówczas, gdy dla x=0 wartości rozwiązań dążą do nieskończoności:

Wykres funkcji Bessela drugiego rodzaju, rzędu 0, 1 i 2

Funkcja generująca funkcje Bessela[edytuj]

Jeżeli rozwiniemy funkcję g(x, t) postaci

w szereg Laurenta względem zmiennej t, to współczynniki tego rozwinięcia będą funkcjami Bessela I rodzaju.

Zmodyfikowane funkcje Bessela[edytuj]

Funkcje Hankela[edytuj]

Zmodyfikowane funkcje Hankela[edytuj]

Właściwości funkcji[edytuj]

Przypisy

  1. [I.S. Grandshteyn, I.M. Ryzbik "Table of Integrals, Series and Products", Academic Press, 2000, ISBN 0-12-294757-6]