Funkcje Kelvina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje Kelvina – funkcje powiązane z funkcjami Bessela zespolonego argumentu. Oznaczane są symbolami:

gdzie jest zmienną zespoloną, a rzeczywisty parametr rzędem funkcji.

Definicje[edytuj]

Ber(x) for x between 0 and 10.
for between 0 and 100.
Bei(x) for between 0 and 10.
for between 0 and 100.
Ker(x) for between 0 and 10.
for x between 0 and 100.
Kei(x) for between 0 and 10.
for between 0 and 100.

ber(x), bei(x)[edytuj]

Funkcje oraz są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Bessela rzędu rzeczywistego o argumencie zespolonym pomnożonym przez stała matematyczną e podniesioną do potęgi gdzie jest jednostką urojoną:

Alternatywną definicją jest:

gdzie jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju rzędu rzeczywistego.

ker(x), kei(x)[edytuj]

Funkcje oraz są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną podzielonej przez zmodyfikowanej funkcji Bessela drugiego rodzaju rzędu rzeczywistego o argumencie zespolonym pomnożonym przez  :

her(x), hei(x)[edytuj]

Funkcje oraz są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Hankela I rodzaju rzędu rzeczywistego o argumencie zespolonym pomnożonym przez  :

Funkcje rzędu zerowego[edytuj]

W zapisie rząd zerowy funkcji Kelvina opuszcza się, tj. mamy:

Własności[edytuj]

Funkcje Kelvina są rzeczywiste dla rzeczywistych wartości argumentu . W punkcie przestrzeni zespolonej funkcje Kelvina posiadają punkt rozgałęzienia z wyjątkiem funkcji oraz rzędu rzeczywistego całkowitego.

Między funkcjami Kelvina zachodzą związki:

Funkcje spełniają równanie różniczkowe:

Natomiast funkcje spełniają równanie różniczkowe:

Rozwinięcia[edytuj]

Dla funkcji o rzędzie całkowitym różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.

W przypadku funkcji rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

tj.:

Dla funkcji o rzędzie całkowitym różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.

W przypadku funkcji rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

tj.

Bibliografia[edytuj]

  • Watson: A Traetise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
  • Olver F.W., Maximin L.C.: Bessel Functions.
  • Lozier D.M., et al.: NIST Hanbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
  • Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy, Moskva, (1971).
  • Korn G.A., Korn T.M.: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.