Funkcje hiperboliczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje hiperbolicznefunkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej będących sumą, różnicą lub ilorazem funkcji eksponencjalnych określone następująco:

  • sinus hiperboliczny: (oznaczany również )
  • cosinus hiperboliczny: (oznaczany również )
  • tangens hiperboliczny: (oznaczany również lub )
  • cotangens hiperboliczny: (oznaczany również lub )
  • secans hiperboliczny:
  • cosecans hiperboliczny:

Hiperbola z funkcji cosh(t) i sinh(t).png

Funkcje te mają interesujące własności matematyczne analogiczne do własności funkcji trygonometrycznych. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres paraboli (jej prawej, dodatniej części). Zostały wprowadzone do nauki przez włoskiego matematyka Vincenzo Riccatiego, który publikował swoje rozważania w Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, wydawanego między 1757 a 1762 rokiem[1]. Nadał im on nazwy sinus i cosinus hiperbolico i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we Francji. Upowszechnił je szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert pokazując ich zastosowanie w trygonometrii w dziele "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques" (1962). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego ale nadał in skróty sinh i cosh stosowane do dnia dzisiejszego[2].

Związki trygonometryczne[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: funkcje trygonometryczne.

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci jest okręgiem (jednostkowym), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci wyznacza hiperbolę.

Prawdziwe są również wzory:

Ponadto, korzystając ze wzoru Eulera

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w liczbach zespolonych:

skąd:

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem (sinh, cosh, sech, csech), albo (tgh, ctgh).

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Jeśli oznacza złotą proporcję, to

Zależności hiperboliczne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: jedynka hiperboliczna.

Odpowiednikiem wzoru jedynkowego jest tzw. „jedynka hiperboliczna”:

Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Pochodne i całki[edytuj | edytuj kod]

Rozwinięcia[edytuj | edytuj kod]

Szeregi potęgowe
Iloczyny nieskończone

Funkcje odwrotne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: funkcje hiperboliczne odwrotne.

Funkcje hiperboliczne mają funkcje odwrotne zwane funkcjami polowymi (lub area). Są one wyrażone przez logarytmy. Funkcją odwrotną do sinh jest area sinus hiperboliczny, do cosh area cosinus hiperboliczny itd.

Wykresy[edytuj | edytuj kod]

Oto wykres funkcji sinh:

Hyperbolic Sine.svg

Wykres funkcji cosh ma kształt krzywej łańcuchowej:

Cosh.svg

Wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Wykresy funkcji cotangens, secans i cosecans hiperboliczny

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

  1. Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100
  2. Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.