Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperboliczne – funkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej określone następująco:

• sinus hiperboliczny:

$\sinh x={e^{x}-e^{-x} \over 2}$$\sinh x = {e^x - e^{-x}\over 2}$

(oznaczany również $\operatorname {sh} x$$\operatorname{sh} x$)

• cosinus hiperboliczny:

$\cosh x={e^{x}+e^{-x} \over 2}$$\cosh x = {e^x + e^{-x}\over2}$

(oznaczany również $\operatorname {ch} x$$\operatorname{ch} x$)

• tangens hiperboliczny:

$\operatorname {tgh} x={\sinh x \over \cosh x}={{e^{x}-e^{-x}} \over {e^{x}+e^{-x}}}$$\operatorname{tgh} x = {\sinh x \over\cosh x} = {{e^x - e^{-x}}\over{e^x + e^{-x}}}$

(oznaczany również $\operatorname {th} x$$\operatorname{th} x$ lub $\operatorname {tanh} x$$\operatorname{tanh} x$)

• cotangens hiperboliczny:

$\operatorname {ctgh} x={\cosh x \over \sinh x}={{e^{x}+e^{-x}} \over {e^{x}-e^{-x}}}$$\operatorname{ctgh} x = {\cosh x \over\sinh x} = {{e^x + e^{-x}}\over{e^x - e^{-x}}}$

(oznaczany również $\operatorname {cth} x$$\operatorname{cth} x$ lub $\operatorname {coth} x$$\operatorname{coth} x$)

• secans hiperboliczny:

$\operatorname {sech} x={1 \over \cosh x}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$$\operatorname{sech} x = {1\over\cosh x} = {\frac{2}{e^x+e^{-x}}}$

• cosecans hiperboliczny:

$\operatorname {csch} x={1 \over \sinh x}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}$$\operatorname{csch} x = {1\over\sinh x} = {\frac{2}{e^x-e^{-x}}}$

Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci (cos x, sin x) jest okręgiem, analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci (cosh(x), sinh(x)) wyznacza hiperbolę. Wynika to z następującej tożsamości, znanej jako jedynka hiperboliczna:

$(\cosh t)^{2}-(\sinh t)^{2}=1\,$$(\cosh t)^2 - (\sinh t)^2 = 1 \,$

Prawdziwe są również wzory:

$\sinh {(2t)}=2\sinh t\cosh t\,$$\sinh{(2t)}= 2 \sinh t \cosh t \,$

$\cosh {(2t)}=(\cosh t)^{2}+(\sinh t)^{2}\,$$\cosh{(2t)}= (\cosh t)^2 + (\sinh t)^2 \,$

$\sinh x+\cosh x=e^{x}\,$$\sinh x + \cosh x = e^x \,$

Ponadto, korzystając ze wzoru Eulera

$e^{ix}=\cos x+i\;\sin x$$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, z zastosowaniem liczb zespolonych:

$\sinh(ix)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin(x)$$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin(x)$

$\cosh(ix)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos(x)$$\cosh(ix) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \cos(x)$

$\operatorname {tgh} (ix)=i\operatorname {tg} (x)\,$$\operatorname{tgh}(ix) = i \operatorname{tg}(x) \,$

$\sinh x=-i\sin(ix)\,$$\sinh x = -i \sin(ix) \,$

$\cosh x=\cos(ix)\,$$\cosh x = \cos(ix) \,$

$\operatorname {tgh} x=-i\operatorname {tg} (ix)\,$$\operatorname{tgh} x = -i \operatorname{tg}(ix) \,$

$\operatorname {ctgh} (ix)={\frac {\operatorname {ctg} (x)}{i}}=-i\operatorname {ctg} (x)$$\operatorname{ctgh}(ix) = \frac{\operatorname{ctg}(x)}{i} = -i \operatorname{ctg}(x)$

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem 2πi (sinh, cosh, sech, csech), albo πi (tgh, ctgh).

Właściwości funkcji hiperbolicznych

• Sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą
• Cosinus hiperboliczny jest funkcją parzystą i funkcją rosnącą dla x>0 i malejącą dla x<0
• Tangens hiperboliczny jest funkcją nieparzystą
• $\sinh(\ln(\phi ))={\frac {1}{2}}$$\sinh(\ln(\phi))=\frac{1}{2}$ przy czym φ jest złotą proporcją
• $\cosh(\ln(\phi ))={\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}$$\cosh(\ln(\phi))=\frac{1}{2} \sqrt{5}$ przy czym φ jest złotą proporcją

Związki pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi

Odpowiednikiem wzoru jedynkowego $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$$\sin^{2} x+\cos^{2} x=1$ jest $\cosh ^{2}(z)-\sinh ^{2}(z)=1$$\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$. Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Pochodne funkcji hiperbolicznych

$\operatorname {sinh} '(x)=\operatorname {cosh} (x)$$\operatorname{sinh}'(x) = \operatorname{cosh}(x)$

$\operatorname {cosh} '(x)=\operatorname {sinh} (x)$$\operatorname{cosh}'(x) = \operatorname{sinh}(x)$

$\operatorname {tgh} '(x)={1 \over {\cosh ^{2}(x)}}=1-{\operatorname {tgh} ^{2}(x)}$$\operatorname{tgh}'(x) = {1\over{\cosh^2(x)}} = 1 - {\operatorname{tgh}^2(x)}$

$\operatorname {ctgh} '(x)={{-1} \over {\sinh ^{2}(x)}}=1-{\operatorname {ctgh} ^{2}(x)}$$\operatorname{ctgh}'(x) = {{-1}\over{\sinh^2(x)}} = 1 - {\operatorname{ctgh}^2(x)}$

Rozwinięcia w szeregi potęgowe

$\sinh z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}=z+{\frac {1}{3!}}z^{3}+{\frac {1}{5!}}z^{5}+{\frac {1}{7!}}z^{7}+\cdots$$\sinh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=z+\frac{1}{3!}z^3+\frac{1}{5!}z^5+\frac{1}{7!}z^7+\cdots$

$\cosh z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {1}{2!}}z^{2}+{\frac {1}{4!}}z^{4}+{\frac {1}{6!}}z^{6}+\cdots$$\cosh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{4!}z^4+\frac{1}{6!}z^6+\cdots$

Rozwinięcia w iloczyny nieskończone

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$$\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$$\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

Funkcje odwrotne

Funkcje hiperboliczne posiadają funkcje odwrotne zwane funkcjami area. Są one wyrażone przez logarytmy. Funkcją odwrotną do sinh jest area sinus hiperboliczny, do cosh area cosinus hiperboliczny itd.

Wykresy

Oto wykres funkcji sinh:

Wykres funkcji cosh ma kształt krzywej łańcuchowej:

Zobacz też

• złota funkcja