Funkcje hiperboliczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje hiperbolicznefunkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej określone następująco:

  • sinus hiperboliczny:
(oznaczany również )
  • cosinus hiperboliczny:
(oznaczany również )
  • tangens hiperboliczny:
(oznaczany również lub )
  • cotangens hiperboliczny:
(oznaczany również lub )
  • secans hiperboliczny:
  • cosecans hiperboliczny:

Związek z funkcjami trygonometrycznymi[edytuj]

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci (cos x, sin x) jest okręgiem, analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci (cosh(x), sinh(x)) wyznacza hiperbolę. Wynika to z następującej tożsamości, znanej jako jedynka hiperboliczna:

Prawdziwe są również wzory:

Ponadto, korzystając ze wzoru Eulera

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, z zastosowaniem liczb zespolonych:

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem 2πi (sinh, cosh, sech, csech), albo πi (tgh, ctgh).

Właściwości funkcji hiperbolicznych[edytuj]

Związki pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi[edytuj]

Odpowiednikiem wzoru jedynkowego jest . Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Pochodne funkcji hiperbolicznych[edytuj]


Rozwinięcia w szeregi potęgowe[edytuj]

Rozwinięcia w iloczyny nieskończone[edytuj]

Funkcje odwrotne[edytuj]

Funkcje hiperboliczne posiadają funkcje odwrotne zwane funkcjami area. Są one wyrażone przez logarytmy. Funkcją odwrotną do sinh jest area sinus hiperboliczny, do cosh area cosinus hiperboliczny itd.

Wykresy[edytuj]

Oto wykres funkcji sinh:

Hyperbolic Sine.svg

Wykres funkcji cosh ma kształt krzywej łańcuchowej:

Cosh.svg

Wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Wykresy funkcji cotangens, secans i cosecans hiperboliczny

Zobacz też[edytuj]