Funkcje hiperboliczne odwrotne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie wyniku funkcji area
Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie wyniku funkcji odwrotnych do trygonometrycznych

Funkcje hiperboliczne odwrotne (funkcje polowe, funkcje area) – funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Ich nazwy odzwierciedlają fakt, że wartości tych funkcji są równe polom odpowiednich wycinków hiperboli jednostkowej , w analogiczny sposób, jak funkcje odwrotne do trygonometrycznych są równe polom wycinków koła jednostkowego

Definiuje się je następującymi wzorami:

(area sinus hiperboliczny) – funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego
(area cosinus hiperboliczny) – funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego
(area tangens hiperboliczny) – funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego
(area cotangens hiperboliczny) – funkcja odwrotna do cotangensa hiperbolicznego
(area secans hiperboliczny) – funkcja odwrotna do secansa hiperbolicznego
(area cosecans hiperboliczny) – funkcja odwrotna do cosecansa hiperbolicznego

Dla argumentów i wyników funkcji będących liczbami rzeczywistymi powyższe wzory da się uprościć:

Area sinus[edytuj | edytuj kod]

Area sinus hiperboliczny
Area cosinus hiperboliczny, górna gałąź krzywej
Area tangens hiperboliczny
Area cotangens hiperboliczny
Area secans hiperboliczny
Area cosecans hiperboliczny


Dziedziną i przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych . Funkcja w punkcie ma punkt przegięcia, jest rosnąca na całej dziedzinie i nie ma asymptot.

Area cosinus[edytuj | edytuj kod]

Area cosinus hiperboliczny, jako funkcja odwrotna do funkcji parzystej, jest niejednoznaczny. Funkcja ma dwie gałęzie, które obie są określone tylko na przedziale . Ogólnie dla liczb rzeczywistych:

Poszczególne gałęzie są dane wzorami:

oraz

Dziedziną funkcji jest przedział .

Area tangens[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną funkcji jest przedział , jest nieparzysta oraz rosnąca. Ma dwie asymptoty: .

Area cotangens[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną funkcji area cotangens jest przedział . Funkcja nie ma ekstremów i punktów przegięcia, ma 3 asymptoty: .

Area secans[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną funkcji jest przedział . Funkcja ma asymptotę o równaniu

Area cosecans[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną jest . Funkcja ma dwie asymptoty: i .

Funkcje hiperboliczne odwrotne jako całki[edytuj | edytuj kod]

Związek z funkcjami cyklometrycznymi[edytuj | edytuj kod]

Pochodne funkcji area[edytuj | edytuj kod]

  • pochodnymi gałęzi area cosinusa hiperbolicznego są:

Właściwości analityczne[edytuj | edytuj kod]

  • Area sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i rosnącą.
  • Funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera.