Funkcje hiperboliczne odwrotne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie wyniku funkcji area
Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie wyniku funkcji odwrotnych do trygonometrycznych

Funkcje hiperboliczne odwrotne (funkcje polowe, funkcje area) – funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Ich nazwy odzwierciedlają fakt, że wartości tych funkcji są równe polom odpowiednich wycinków hiperboli jednostkowej , w analogiczny sposób, jak funkcje odwrotne do trygonometrycznych są równe polom wycinków koła jednostkowego

Definiuje się je następującymi wzorami:

(area sinus hiperboliczny) – funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego
(area cosinus hiperboliczny) – funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego
(area tangens hiperboliczny) – funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego
(area cotangens hiperboliczny) – funkcja odwrotna do cotangensa hiperbolicznego
(area secans hiperboliczny) – funkcja odwrotna do secansa hiperbolicznego
(area cosecans hiperboliczny) – funkcja odwrotna do cosecansa hiperbolicznego

Dla argumentów i wyników funkcji będących liczbami rzeczywistymi powyższe wzory da się uprościć:

Area sinus[edytuj | edytuj kod]

Area sinus hiperboliczny
Area cosinus hiperboliczny, górna gałąź krzywej
Area tangens hiperboliczny
Area cotangens hiperboliczny
Area secans hiperboliczny
Area cosecans hiperboliczny


Dziedziną i przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych . Funkcja w punkcie ma punkt przegięcia, jest rosnąca na całej dziedzinie i nie ma asymptot.

Area cosinus[edytuj | edytuj kod]

Area cosinus hiperboliczny, jako funkcja odwrotna do funkcji parzystej, jest niejednoznaczny. Funkcja ma dwie gałęzie, które obie są określone tylko na przedziale . Ogólnie dla liczb rzeczywistych:

Poszczególne gałęzie są dane wzorami:

oraz

Dziedziną funkcji jest przedział .

Area tangens[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną funkcji jest przedział , jest nieparzysta oraz rosnąca. Ma dwie asymptoty: .

Area cotangens[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną funkcji area cotangens jest przedział . Funkcja nie ma ekstremów i punktów przegięcia, ma 3 asymptoty: .

Area secans[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną funkcji jest przedział . Funkcja ma asymptotę o równaniu

Area cosecans[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną jest . Funkcja ma dwie asymptoty: i .

Funkcje hiperboliczne odwrotne jako całki[edytuj | edytuj kod]

Związek z funkcjami cyklometrycznymi[edytuj | edytuj kod]

Pochodne funkcji area[edytuj | edytuj kod]

  • pochodnymi gałęzi area cosinusa hiperbolicznego są:

Właściwości analityczne[edytuj | edytuj kod]

  • Area sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i rosnącą.
  • Funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera.