Funkcje specjalne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.

Funkcje związane z Symbol Nazwa Komentarz
funkcją Γ Funkcja gamma Eulera uogólnienie silni
Logarytmiczna pochodna funkcji gamma zwana również funkcją digamma
Funkcja poligamma
Funkcja beta Eulera powiązana ze współczynnikami dwumianowymi
funkcją błędu i całkami wykładniczymi Funkcja błędu Gaussa ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa
Uzupełniająca funkcja błędu
Zespolona funkcja błędu
Całki Fresnela (sinus i cosinus Fresnela) stosowane w optyce
Funkcja całkowo-wykładnicza
Logarytm całkowy
Sinus i cosinus całkowy oraz całkowy sinus hiperboliczny
z funkcją ζ Funkcja dzeta Riemanna ważna w teorii liczb i związana z hipotezą Riemanna
Funkcja eta Dirichleta
Polilogarytmy
całkami i funkcjami eliptycznymi Całki eliptyczne niezupełne I i II stopnia pojawiają się np. podczas obliczania długości łuku elipsy
Całki eliptyczne zupełne I i II stopnia otrzymuje się poprzez podstawienie do całek zupełnych ψ = π/2
Funkcje eliptyczne Jacobiego odwrotne do całek eliptycznych, zwane też funkcjami amplitudy
Funkcja hipergeometryczna za pomocą tej funkcji można łatwo wyrazić całki eliptyczne oraz wiele innych znanych funkcji
wielomianami ortogonalnymi Wielomiany Legendre'a rozwiązania równania Legendre'a
Stowarzyszone wielomiany Legendre'a
Wielomiany Laguerre'a występują m.in. w mechanice kwantowej
Stowarzyszone wielomiany Laguerre'a dla α=0 otrzymuje się "normalne" wielomiany Laguerre'a
Wielomiany Hermite'a
Wielomiany Czebyszewa I i II rodzaju
Wielomiany Gegenbauera
Wielomiany Jacobiego można z nich otrzymać wielomiany Gegenbauera, Legendre'a oraz Czebyszewa I i II rodzaju
Harmoniki sferyczne mają zastosowanie w astronomii, mechanice i elektromagnetyzmie
funkcjami Bessela Funkcje Bessela zastosowanie w wielu zagadnieniach fizyki matematycznej, w których występuje symetria cylindryczna, np. w astronomii, elektromagnetyzmie
Zmodyfikowane funkcje Bessela
Funkcje Hankela
funkcjami odwrotnymi Funkcja Gudermanna amplituda hiperboliczna, gudermanian
Funkcja W Lamberta funkcja odwrotna do funkcji f(x) = xex

Inne funkcje specjalne: