Gęstość Sznirelmana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Gęstość Sznirelmana – pojęcie addytywnej teorii liczb wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Lwa Sznirelmana. Jest zdefiniowana dla podzbiorów zbioru liczb naturalnych jako:

\sigma A = \inf_{n} \frac{A(n)}{n},

gdzie A(n) to ilość elementów zbioru A nie przekraczających n, inf to infimum.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy zbiór ma gęstość Sznirelmana (w odróżnieniu od gęstości naturalnej).
  • \sigma A > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy d_* (A) >0 i 1 \in A, gdzie d_* (A) oznacza dolną gęstość naturalną.
  • \sigma A = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy A zawiera wszystkie liczby naturalne.
  • Jeżeli 1 \in A i 0 \in B, to
 \sigma (A+B) \geq \sigma A + \sigma B -\sigma A \sigma B ,

gdzie A+B oznacza sumę algebraiczną zbiorów.

Baza addytywna i twierdzenia udowodnione przy użyciu gęstości Sznirelmana[edytuj | edytuj kod]

Baza addytywna jest definiowana jako zbiór A taki, że dla pewnego k zachodzi k A = \mathbb{N}.

  • Jeśli zbiór A zawiera 0 i ma dodatnią gęstość Sznirelmana, to jest bazą addytywną.
  • każda liczba naturalna (większa od jedności) może być zapisana w postaci sumy co najwyżej 20 liczb pierwszych.
  • Dla każdej liczby naturalnej k istnieje liczba n_k taka, że każda liczba naturalna jest sumą co najwyżej n_k k-tych potęg liczb naturalnych (Problem Waringa).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.