Gęstość Sznirelmana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Gęstość Sznirelmana – pojęcie addytywnej teorii liczb wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Lwa Sznirelmana. Jest zdefiniowana dla podzbiorów zbioru liczb naturalnych jako:

gdzie A(n) to liczba elementów zbioru A nie przekraczających n, inf to infimum.

Własności[edytuj]

  • Każdy zbiór ma gęstość Sznirelmana (w odróżnieniu od gęstości naturalnej).
  • wtedy i tylko wtedy, gdy i , gdzie oznacza dolną gęstość naturalną.
  • wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie liczby naturalne.
  • Jeżeli i , to
,

gdzie oznacza sumę algebraiczną zbiorów.

Baza addytywna i twierdzenia udowodnione przy użyciu gęstości Sznirelmana[edytuj]

Baza addytywna jest definiowana jako zbiór taki, że dla pewnego zachodzi .

  • Jeśli zbiór zawiera 0 i ma dodatnią gęstość Sznirelmana, to jest bazą addytywną.
  • każda liczba naturalna (większa od jedności) może być zapisana w postaci sumy co najwyżej 20 liczb pierwszych.
  • Dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba taka, że każda liczba naturalna jest sumą co najwyżej -tych potęg liczb naturalnych (Problem Waringa).

Bibliografia[edytuj]

  • Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.