Geometria uporządkowania

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Geometria uporządkowania – geometria, której jedynymi pojęciami pierwotnymi są punkty oraz trzyargumentowa relacja leżenia między [1]. W geometrii tej, podobnie jak w geometrii rzutowej, pomija się pojęcie odległości (metryki). Geometria uporządkowania jest bazą dla geometrii absolutnej i geometrii afinicznej[2] (ale nie dla geometrii rzutowej).

Aksjomatyka geometrii uporządkowania[edytuj | edytuj kod]

Według Coxetera[3].

Pojęcia pierwotne[edytuj | edytuj kod]

  1. Zbiór, którego elementy są nazywane punktami i oznaczane
  2. Relacja trójargumentowa na punktach odczytywana „punkt leży między punktami i ”.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Podział prostej punktami i na odcinek otwarty (fioletowy) i dwa promienie: (zielony) i (czerwony; punkty i nie należą do żadnego z trzech zbiorów podziału)
  1. Odcinek otwarty jest zbiorem wszystkich takich punktów że
  2. Odcinek domknięty jest sumą odcinka otwartego i zbioru
  3. Promień [4] jest zbiorem wszystkich takich punktów że Promień nie zawiera punktu
  4. Prosta jest sumą odcinka domkniętego i promieni i
  5. Jeżeli punkty i nie leżą na jednej prostej (czyli są niewspółliniowe), to definiują one trójkąt który składa się z trzech wierzchołków i oraz trzech boków będących odcinkami otwartymi i
  6. Jeżeli i są trzema niewspółliniowymi punktami, to płaszczyzna jest zbiorem wszystkich punktów współliniowych z parami punktów leżących na jednym lub na dwóch bokach trójkąta

Aksjomaty[edytuj | edytuj kod]

Aksjomat Pascha w geometrii uporządkowania (siódmy w spisie)
  1. Istnieją co najmniej dwa punkty.
  2. Jeżeli i są dwoma różnymi punktami, to istnieje co najmniej jeden punkt dla którego
  3. Jeżeli to
  4. Jeżeli to ale nie
  5. Jeżeli i są różnymi punktami na prostej to znajduje się na prostej
  6. Jeżeli jest prostą, to istnieje punkt nie leżący na tej prostej.
  7. Jeżeli jest trójkątem oraz zachodzą relacje i to na prostej znajduje się punkt dla którego (Aksjomat Pascha).
  8. Wszystkie punkty leżą w tej samej płaszczyźnie[5].
  9. Dla każdego podziału zbioru wszystkich punktów prostej na dwa niepuste zbiory, takie że żaden punkt jednego nie leży między dwoma punktami drugiego, istnieje punkt należący do jednego zbioru, który leży między każdym innym punktem tego zbioru a każdym punktem drugiego zbioru (Aksjomat ciągłości, zw. też pewnikiem Dedekinda).

Najprostsze własności[edytuj | edytuj kod]

W każdym odcinku otwartym można znaleźć jakiś punkt
  • Jeżeli to nie

Dowód. Gdyby to na mocy aksjomatu 4. nie wbrew założeniu, co dowodzi tezy.

  • Jeżeli to punkty i są różne.

Dowód. Gdyby to na podstawie aksjomatu 4. byłoby jednocześnie i nie czyli sprzeczność. Jeżeli na mocy aksjomatu 4. czyli jednocześnie i nie czyli jednocześnie i nie co jest sprzeczne. Zatem Ponieważ z aksjomatu 3. więc wszystkie punkty są różne.

Z aksjomatu 5. wynika twierdzenie:

  • Jeżeli i są różnymi punktami na prostej to proste i są identyczne.

Pociąga ona za sobą ważne własności prostych:

  • Dwa różne punkty leżą na dokładnie jednej prostej.
  • Dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny.
  • Jeśli punkty i leżą na jednej prostej, to spełniona jest jedna z relacji lub

Z aksjomatu 6. wynika, że:

  • Jeśli i nie leżą na jednej prostej, to proste i są różne.
  • Dla dowolnych dwóch punktów i istnieje taki punkt że

Dowód. Z aksjomatu 6. wynika, że istnieje punkt nienależący do prostej (zielona prosta na rysunku). Z aksjomatu 2. wynika, że istnieje taki punkt że oraz taki punkt że Na podstawie aksjomatu 7. istnieje na prostej taki punkt że

  • Problem Sylvestera: Jeżeli danych jest n punktów i nie wszystkie są współliniowe, to istnieje co najmniej jedna prosta zawierająca dokładnie dwa spośród nich[6].

Definicja afiniczna geometrii uporządkowania na płaszczyźnie[edytuj | edytuj kod]

Emil Artin w swojej książce Algebra geometryczna zaproponował nieco inne podejście do geometrii uporządkowania, bardziej użyteczne przy algebraicznym ujęciu problemu:

Płaszczyznę nazywamy uporządkowaną, jeśli:

  1. Zbiór punktów na każdej prostej jest liniowo uporządkowany.
  2. Rzut równoległy punktów jednej prostej na drugą prostą albo zachowuje uporządkowanie, albo zmienia je na przeciwne[7].

Podstawowym wynikiem w tak rozwijanej geometrii uporządkowania jest następujące twierdzenie:

Geometria uporządkowania na płaszczyźnie kanonicznie indukuje ciało słabo uporządkowane a słabe uporządkowanie ciała kanonicznie indukuje geometrię uporządkowania[8].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 195.
  2. Coxeter, op. cit., s. 194.
  3. Coxeter, op. cit., s. 194–196, 203, 205.
  4. Promień (wychodzący z punktu i nieprzechodzący przez punkt ) nazywany jest często półprostą
  5. Geometrię uporządkowania można rozszerzyć na przestrzeń. Potrzebne są jednak wtedy dwa dodatkowe aksjomaty: istnienia punktu poza płaszczyzną i zawierania się wszystkich punktów w przestrzeni. Coxeter, op. cit., s. 203.
  6. Coxeter, op. cit., s. 200-201
  7. Artin E.: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LTD., 1957., tłum. ros. 1969, s. 106.
  8. Artin, op. cit., s. 106.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Artin E.: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LTD, 1957.