Graf doskonały

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.




Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
stopień grafu
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów


Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny


Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
wszerz
w głąb
najbliższego sąsiada


Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem marszrutyzacji
problem kojarzenia małżeństw


Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego
kod Prüfera


Graf doskonały (ang. perfect graph) – graf w którym liczba chromatyczna każdego podgrafu indukowanego (wierzchołkowo) jest równa rozmiarowi największej kliki tego podgrafu[1].

W każdym grafie rozmiar kliki jest dolnym ograniczeniem na liczbę chromatyczną, ponieważ przy kolorowaniu każdy wierzchołek kliki musi otrzymać inny kolor. W grafach doskonałych to ograniczenie jest ścisłe, nie tylko dla samego grafu ale również dla wszystkich jego podgrafów. Dla innych grafów nie musi tak być: przykładowo cykl długości 5 ma liczbę chromatyczną 3, choć rozmiar największej kliki wynosi 2.

Wiele istotnych klas grafów jest grafami doskonałymi, co umożliwia znalezienie łatwych rozwiązań dla niektórych problemów trudnych w ogólności. Przykładowo problem kolorowania grafów, problem kliki i problem maksymalnego zbioru niezależnego mają rozwiązania działające dla wszystkich grafów doskonałych w wielomianowym czasie.

Przykładowe klasy grafów doskonałych to:

Charakterystyka grafów doskonałych[edytuj]

Silne twierdzenie o grafach doskonałych (Chudnovsky, Robertson, Seymour, Thomas 2002) mówi że graf jest doskonały wtedy i tylko wtedy gdy jest grafem Berge – to znaczy nie zawiera ani nieparzystych dziur (podgrafów będących cyklami nieparzystej długości większej niż 4) ani nieparzystych antydziur (podgrafów będących dopełnieniami dziur).

Twierdzenie to umożliwiło stworzenie wielomianowego algorytmu rozstrzygającego czy dany graf jest grafem doskonałym. Tym samym problem ten należy do klasy P.

Linki zewnętrzne[edytuj]

Przypisy

  1. Reinhard Diestel: Graph Theory. Nowy Jork: 2000, s. 110-111. ISBN 0-387-95014-1.