Granica funkcji

$n$	$n\sin(1/n)$
1	0,841471
2	0,958851
...
10	0,998334
...
100	0,999983

Dodatnia liczba całkowita $n$ staje się coraz większa, wartość $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ staje się coraz bliższa $1.$ Mówimy, że granica $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ jest równa $1.$

Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

Historia

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue’a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia oraz użycia go w ich wersjach rachunku różniczkowego i całkowego. Oboje tłumaczyli istnienie granic w różny sposób, Newton porównywał je do ciągłego ruchu, że w każdym konkretnym punkcje czasu istnieje jakiś prędkość. Leibniz natomiast tłumaczył granicę na przykładzie krzywych eliptycznych, gdzie parabola dąży do elipsy i może być nieskończenie blisko elipsy, ale nie być jeszcze elipsą.

Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.

Granica w punkcie

Definicje

Funkcja $f\colon A\to \mathbb {R}$ określona na zbiorze $A\subseteq \mathbb {R}$ ma w punkcie skupienia $x_{0}$ tego zbioru granicę równą $g,$ jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków

1. definicja Heinego:

dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że dla dowolnego $n\in \mathbb {N} ,x_{n}\in A,\ x_{n}\neq x_{0}$ oraz $x_{n}$dąży do $x_{0},$ ciąg wartości funkcji $(f(x_{n}))$ dąży do $g$ gdy $n\to \infty$;

2. definicja Cauchy’ego:

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon ),$

co czytamy następująco: dla każdej liczby $\varepsilon >0$ istnieje liczba $\delta >0$ taka, że dla każdego $x\in A$ z nierówności $0<|x-x_{0}|<\delta$ wynika nierówność $|f(x)-g|<\varepsilon .$

3. definicja przez ciągłość: $g$ jest taką wartością, którą należy nadać funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ by była w tym punkcie ciągła:

$h(x)=\left\{{f(x){\text{ dla }}x\neq x_{0} \atop g{\text{ dla }}x=x_{0}}\right.$ jest ciągła w $x_{0}.$ (Ta definicja stosuje się do wszystkich funkcji, nie tylko liczbowo-liczbowych.) Aby móc stosować tę definicję gdy $x_{0}$ lub $g$ są równe $+\infty$ lub $-\infty$ wystarczy rozważać rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych z odpowiednimi otoczeniami $+\infty$ i $-\infty .$

Warunek $0<|x-x_{0}|$ w definicji Cauchy’ego oznacza, że nie wymagamy $|f(x_{0})-g|<\varepsilon .$ W definicji przez ciągłość nie musimy wykluczać tego wymagania dla funkcji $h,$ bo sprowadza się ono do warunku $|g-g|<\varepsilon ,$ który jest oczywiście spełniony, bo $\varepsilon >0.$

Jeżeli istnieje granica funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i jest równa $g,$ to piszemy

$f(x)\to g$ $(x\to x_{0})$

i czytamy „$f(x)$ dąży do $g,$ gdy $x$ dąży do $x_{0}$”

lub równoważnie

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=g,$

co czytamy: „limes $f(x)$ przy $x$ dążącym do $x_{0}$ równa się $g$”.

$x\to x_{0}^{+}\neq x\to x_{0}^{-}.$ Dlatego granica jako $x\to x_{0}$ nie istnieje.

Przykłady

Nie istnieje granica

$\lim _{x\to 0}~{\frac {1}{x}}$

(żadna liczba, nawet 0, nie spełnia definicji granicy). Natomiast istnieją obie granice jednostronne:

$\lim _{x\to 0^{+}}~{\frac {1}{x}}=+\infty$

$\lim _{x\to 0^{-}}~{\frac {1}{x}}=-\infty$

Nie istnieje granica

$\lim _{x\to 0}~\sin {\frac {1}{x}}$

(żadna liczba, nawet 0, nie spełnia definicji granicy). Nie istnieją też granice jednostronne.

Istnieje granica $\lim _{x\to \infty }~{\frac {1}{x}}$ i jest równa 0.

Istnieje granica $\lim _{x\to 0}~x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$ i jest równa 0.

Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami (w opozycji do ukazanej w tej sekcji) obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).

Liczba $g$ jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji $f$ w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia $x_{0}$ dziedziny, co zapisuje się

$f(x)\to g$ przy $x\to x_{0}^{-}$ (odpowiednio: $f(x)\to g$ przy $x\to x_{0}^{+}$)

lub

$\lim _{x\to x_{0}^{-}}~f(x)=g$ (odpowiednio: $\lim _{x\to x_{0}^{+}}~f(x)=g$),

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że dla dowolnego $n\in \mathbb {N} \ x_{n}\in A,\ x_{n}<x_{0}$ (odpowiednio: $x_{n}>x_{0}$)   oraz $\lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0},$
ciąg wartości funkcji $(f(x_{n}))$ dąży do $g$ przy $n\to \infty ;$

definicja Cauchy’ego

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}-\delta <x<x_{0}\implies |f(x)-g|<\varepsilon )$ (odpowiednio: $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}<x<x_{0}+\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon )$).

Granica niewłaściwa

Funkcja $f$ ma w punkcie $x_{0}$ granicę niewłaściwą $+\infty ,$ co zapisuje się

$f(x)\to +\infty$ przy $x\to x_{0}$

lub

$\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=+\infty ,$

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że $x_{n}\in A,x_{n}\neq x_{0}$ oraz $\lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0}$ ciąg wartości funkcji $(f(x_{n}))$ dąży do $+\infty$ przy $n\to +\infty ;$

definicja Cauchy’ego

$\forall _{M>0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies f(x)>M).$

Analogicznie definiuje się i oznacza się granicę niewłaściwą $-\infty {:}$ trzeba tylko wszędzie zamienić $+\infty$ na $-\infty ,$ a definicję Cauchy’ego zapisać tak:

$\forall _{M>0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(0<|x-x_{0}|<\delta \implies f(x)<-M).$

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.

Granica w nieskończoności

Granica tej funkcji w nieskończoności istnieje

Asymptota pozioma $y=4$

Funkcja $f$ określona dla wszystkich $x>a$ (odpowiednio: $x<a$) ma granicę $g$ w plus (odpowiednio: minus) nieskończoności, co zapisuje się

$f(x)\to g$ przy $x\to +\infty$ (odpowiednio: $x\to -\infty$)

lub

$\lim _{x\to +\infty }~f(x)=g$ (odpowiednio: $\lim _{x\to -\infty }~f(x)=g$),

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że dla każdego $n\in \mathbb {N} \ x_{n}>a$ oraz $x_{n}\to +\infty$ (odpowiednio: dla każdego $n\in \mathbb {N} \ x_{n}<a$ oraz $x_{n}\to -\infty$),
ciąg wartości funkcji $f(x_{n})$ dąży do $g$ przy $n\to \infty ;$

definicja Cauchy’ego

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x>\alpha }\;|f(x)-g|<\varepsilon$ (odpowiednio $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x<\alpha }\;|f(x)-g|<\varepsilon$).

Granica niewłaściwa w nieskończoności

Funkcja $f$ określona na przedziale $(a,+\infty )$ ma w nieskończoności granicę niewłaściwą $+\infty ,$ co zapisuje się

$f(x)\to +\infty$ przy $x\to +\infty$

lub

$\lim _{x\to +\infty }~f(x)=+\infty ,$

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że dla każdego $n\in \mathbb {N} \ x_{n}>a$ oraz $x_{n}\to +\infty ,$ ciąg wartości funkcji $f(x_{n})$ dąży do $+\infty$ przy $n\to \infty ;$

definicja Cauchy’ego

$\forall _{M>0}\;\exists _{\alpha \in \mathbb {R} }\;\forall _{x>\alpha }\;f(x)>M.$

Analogicznie definiuje się:

• granicę niewłaściwą $-\infty$ funkcji w $+\infty ,$
• granicę niewłaściwą $+\infty$ funkcji w $-\infty ,$
• granicę niewłaściwą $-\infty$ funkcji w $-\infty .$

Własności

• Jeśli funkcje $f$ i $g,$ określone na zbiorze $A\subseteq \mathbb {R} ,$ mają granice właściwe $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=a$ i $\lim _{x\to x_{0}}~g(x)=b,$ to:
  • $\lim _{x\to x_{0}}~(f(x)\pm g(x))=a\pm b,$
  • $\lim _{x\to x_{0}}~(f(x)\cdot g(x))=a\cdot b,$
  • $\lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {f(x)}{g(x)}}={\tfrac {a}{b}},$ gdy $g(x)\neq 0$ oraz $b\neq 0.$

Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

• • Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że $\lim _{x\to \infty }~{\tfrac {\sin x}{x}}=0,$ nie oznacza, że istnieją granice $\lim _{x\to \infty }~\sin x$ czy $\lim _{x\to \infty }~{\tfrac {1}{x}}.$ W podanym przykładzie granica $\lim _{x\to \infty }~\sin x$ nie istnieje, natomiast $\lim _{x\to \infty }~{\tfrac {1}{x}}=0.$
• Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.

Jeśli funkcja $f\colon A\to \mathbb {R}$ ma w punkcie $x_{0}$ granicę $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=y_{0},$ funkcja $g\colon B\to \mathbb {R}$ ma w punkcie $y_{0}$ granicę $\lim _{y\to y_{0}}~g(y)=z_{0},$ przy czym $x_{0}$ i $y_{0}$ są odpowiednio punktami skupienia zbiorów $A\cap f^{-1}(B)$ oraz $B,$ przy czym $f(x)\neq y_{0}$ dla każdego $x$ z pewnego sąsiedztwa punktu $x_{0},$ to $\lim _{x\to x_{0}}~(g\circ f)(x)=\lim _{y\to y_{0}}~g(y)=z_{0}.$

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

• $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {1}{f(x)}}=0,$
• $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=0$ oraz $f(x)>0\;{\big (}f(x)<0{\big )}$ w pewnym sąsiedztwie $x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~{\tfrac {1}{f(x)}}=\pm \infty ,$
• $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty$ oraz $c>0\implies \lim _{x\to x_{0}}~cf(x)=\pm \infty ,$
• $\lim _{x\to x_{0}}~f(x)=\pm \infty$ oraz $c<0\implies \lim _{x\to x_{0}}cf(x)=\mp \infty ,$
• $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty$ oraz $0<a\leqslant h(x)$ w pewnym sąsiedztwie $x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~f(x)\cdot h(x)=\pm \infty ,$
• $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty$ oraz $h(x)\leqslant a<0$ w pewnym sąsiedztwie $x_{0}\implies \lim _{x\to x_{0}}~f(x)\cdot h(x)=\mp \infty .$

Zobacz też

• granica ciągu
• granice dolna i górna
• reguła de l’Hospitala
• twierdzenie o trzech ciągach (funkcjach)

Bibliografia

• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Literatura dodatkowa

• Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1996. ISBN 83-02-02551-8. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

Nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]:

• Piotr Stachura, Wprowadzenie do granicy funkcji w nieskończoności, 8 maja 2019.
• Szymon Charzyński, Wprowadzenie do obliczania granicy funkcji w punkcie, 12 marca 2014.
• Szymon Charzyński, Granica złożenia funkcji gdy granica funkcji wewnętrznej nie istnieje, 18 maja 2021.
• Szymon Charzyński, Granica złożenia funkcji gdy granica funkcji zewnętrznej nie istnieje, 26 maja 2021.
• Szymon Charzyński, Granice funkcji przedziałami ciągłych, 20 marca 2022.