Granica funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

1 0,841471
2 0,958851
...
10 0,998334
...
100 0,999983

Dodatnia liczba całkowita staje się coraz większa, wartość staje się coraz bliższa Mówimy, że granica jest równa

Historia[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue’a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.

Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.

Granica w punkcie[edytuj | edytuj kod]

Funkcja określona na zbiorze ma w punkcie skupienia tego zbioru granicę równą jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków

1. definicja Heinego:

dla każdego ciągu takiego, że dla dowolnego oraz ciąg wartości funkcji dąży do gdy

2. definicja Cauchy’ego:

co czytamy następująco: dla każdej liczby istnieje liczba taka, że dla każdego z nierówności wynika nierówność

3. definicja przez ciągłość[1]: jest taką wartością, którą należy nadać funkcji w punkcie by była w tym punkcie ciągła:

jest ciągła w (Ta definicja stosuje się do wszystkich funkcji, nie tylko liczbowo-liczbowych.)

Warunek w definicji Cauchy’ego oznacza, że nie testujemy W definicji przez ciągłość pojawia się w to miejsce warunek który jest oczywiście spełniony, bo

Jeżeli istnieje granica funkcji w punkcie i jest równa to piszemy

i czytamy „ dąży do gdy dąży do [1]

lub równoważnie

co czytamy: „limes przy dążącym do równa się ”.

Dlatego granica jako nie istnieje.

Nieistnienie granicy funkcji to nie to samo, co „granica funkcji jest równa 0”. Jeśli liczba spełnia definicję granicy, to granica istnieje (i jest równa 0), natomiast może być tak, że żadna liczba (nawet 0) nie spełnia definicji granicy, i wtedy granica nie istnieje.

Granica jednostronna[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: Granica jednostronna.

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami (w opozycji do ukazanej w tej sekcji) obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).

Liczba jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia dziedziny, co zapisuje się

przy (odpowiednio: przy )

lub

(odpowiednio: ),

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu takiego, że dla dowolnego (odpowiednio: )   oraz
ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy’ego
(odpowiednio: ).

Granica niewłaściwa[edytuj | edytuj kod]

Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu takiego, że oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy’ego

Analogicznie definiuje się i oznacza się granicę niewłaściwą trzeba tylko wszędzie zamienić na a definicję Cauchy’ego zapisać tak:

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.

Granica w nieskończoności[edytuj | edytuj kod]

Granica tej funkcji w nieskończoności istnieje

Funkcja określona dla wszystkich (odpowiednio: ) ma granicę w plus (odpowiednio: minus) nieskończoności, co zapisuje się

przy (odpowiednio: )

lub

(odpowiednio: ),

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu takiego, że dla każdego oraz (odpowiednio: dla każdego oraz ),
ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy’ego
Asymptota pozioma

(odpowiednio ).

Granica niewłaściwa w nieskończoności[edytuj | edytuj kod]

Funkcja określona na przedziale ma w nieskończoności granicę niewłaściwą co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego
dla każdego ciągu takiego, że dla każdego oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy’ego

Analogicznie definiuje się:

  • granicę niewłaściwą funkcji w
  • granicę niewłaściwą funkcji w
  • granicę niewłaściwą funkcji w

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli funkcje i określone na zbiorze mają granice właściwe i to:
    • gdy oraz

Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

    • Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że nie oznacza, że istnieją granice czy W podanym przykładzie granica nie istnieje, natomiast
  • Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.
Jeśli funkcja ma w punkcie granicę funkcja ma w punkcie granicę przy czym i są odpowiednio punktami skupienia zbiorów oraz przy czym dla każdego z pewnego sąsiedztwa punktu to

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

  • oraz w pewnym sąsiedztwie
  • oraz
  • oraz
  • oraz w pewnym sąsiedztwie
  • oraz w pewnym sąsiedztwie

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Witold Kleiner, Analiza matematyczna, t. 1, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986, ​ISBN 83-01-06460-7​, s. 103.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]