Granica funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy'ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

Historia[edytuj]

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue'a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.

Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.

Granica w punkcie[edytuj]

Funkcja określona na zbiorze ma w punkcie skupienia tego zbioru granicę równą , jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków

1. definicja Heinego:

dla każdego ciągu takiego, że dla dowolnego oraz ciąg wartości funkcji dąży do gdy ,

2. definicja Cauchy'ego:

,
co czytamy następująco: dla każdej liczby istnieje liczba taka, że dla każdego z nierówności wynika nierówność .

Jeżeli istnieje granica funkcji w punkcie, to piszemy

przy
lub
,

co czytamy: granicą funkcji dla dążącego do jest liczba .

Granica jednostronna[edytuj]

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami w opozycji do ukazanej w tej sekcji obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna są sobie równe, to są one równe granicy obustronnej; twierdzenie odwrotne jest prawdziwe, jeżeli obie granice jednostronne istnieją.

Liczba jest granicą lewostronną funkcji w lewostronnym punkcie skupienia dziedziny, co zapisuje się

przy

lub


gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu takiego, że dla dowolnego oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy'ego 

Liczba jest granicą prawostronną funkcji w punkcie , będącym prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji , co zapisuje się

przy

lub


gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu takiego, że dla dowolnego oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy'ego 

Granica niewłaściwa[edytuj]

Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą , co zapisuje się

przy

lub


gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu takiego, że oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy'ego 

Analogicznie definiuje się i oznacza się granicę niewłaściwą : trzeba tylko wszędzie zamienić na , a definicję Cauchy'ego zapisać tak:

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.

Granica w nieskończoności[edytuj]

Funkcja określona dla wszystkich ma w plus (minus) nieskończoności granicę , co zapisuje się

przy

lub


gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu takiego, że dla każdego oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy'ego

Granica niewłaściwa w nieskończoności[edytuj]

Funkcja określona na przedziale ma w nieskończoności granicę niewłaściwą , co zapisuje się

przy

lub


gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu takiego, że dla każdego oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy'ego 

Analogicznie definiuje się:

  • granicę niewłaściwą funkcji w
  • granicę niewłaściwą funkcji w
  • granicę niewłaściwą funkcji w

Własności[edytuj]

  • Jeśli funkcje i , określone na zbiorze , mają granice właściwe i , to:
    • gdy oraz

Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

    • Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że nie oznacza, że istnieją granice czy W podanym przykładzie granica nie istnieje, natomiast
  • Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.
Jeśli funkcja ma w punkcie granicę , funkcja ma w punkcie granicę , przy czym i są odpowiednio punktami skupienia zbiorów oraz , przy czym dla każdego z pewnego sąsiedztwa punktu , to .

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

  • oraz w pewnym sąsiedztwie
  • oraz
  • oraz
  • oraz w pewnym sąsiedztwie
  • oraz w pewnym sąsiedztwie

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]