Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.
 |
|
1 |
0,841471
|
2 |
0,958851
|
...
|
10 |
0,998334
|
...
|
100 |
0,999983
|
Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue’a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.
Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass[1].
Funkcja
określona na zbiorze
ma w punkcie skupienia
tego zbioru granicę równą
jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków
1. definicja Heinego:
- dla każdego ciągu
takiego, że dla dowolnego
oraz
dąży do
ciąg wartości funkcji
dąży do
gdy
[1];
2. definicja Cauchy’ego:

- co czytamy następująco: dla każdej liczby
istnieje liczba
taka, że dla każdego
z nierówności
wynika nierówność 
3. definicja przez ciągłość[2]:
jest taką wartością, którą należy nadać funkcji
w punkcie
by była w tym punkcie ciągła:
jest ciągła w
(Ta definicja stosuje się do wszystkich funkcji, nie tylko liczbowo-liczbowych.) Aby móc stosować tę definicję gdy
lub
są równe
lub
wystarczy rozważać rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych z odpowiednimi otoczeniami
i 
Warunek
w definicji Cauchy’ego oznacza, że nie wymagamy
W definicji przez ciągłość nie musimy wykluczać tego wymagania dla funkcji
bo sprowadza się ono do warunku
który jest oczywiście spełniony, bo
Jeżeli istnieje granica funkcji
w punkcie
i jest równa
to piszemy

i czytamy „
dąży do
gdy
dąży do
”[2]
lub równoważnie

co czytamy: „limes
przy
dążącym do
równa się
”.

Dlatego granica jako

nie istnieje.
Nie istnieje granica

(żadna liczba, nawet 0, nie spełnia defnicji granicy). Natomiast istnieją obie granice jednostronne:


Nie istnieje granica

(żadna liczba, nawet 0, nie spełnia definicji granicy). Nie istnieją też granice jednostronne.
Istnieje granica
i jest równa 0.
Istnieje granica
i jest równa 0.
Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami (w opozycji do ukazanej w tej sekcji) obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).
Liczba
jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji
w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia
dziedziny, co zapisuje się
przy
(odpowiednio:
przy
)
lub
(odpowiednio:
),
gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:
- definicja Heinego
- dla każdego ciągu
takiego, że dla dowolnego
(odpowiednio:
) oraz 
ciąg wartości funkcji
dąży do
przy 
- definicja Cauchy’ego
(odpowiednio:
).
Funkcja
ma w punkcie
granicę niewłaściwą
co zapisuje się
przy 
lub

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:
- definicja Heinego
- dla każdego ciągu
takiego, że
oraz
ciąg wartości funkcji
dąży do
przy 
- definicja Cauchy’ego

Analogicznie definiuje się i oznacza się granicę niewłaściwą
trzeba tylko wszędzie zamienić
na
a definicję Cauchy’ego zapisać tak:

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.
Granica tej funkcji w nieskończoności istnieje
Funkcja
określona dla wszystkich
(odpowiednio:
) ma granicę
w plus (odpowiednio: minus) nieskończoności, co zapisuje się
przy
(odpowiednio:
)
lub
(odpowiednio:
),
gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:
- definicja Heinego
- dla każdego ciągu
takiego, że dla każdego
oraz
(odpowiednio: dla każdego
oraz
),
ciąg wartości funkcji
dąży do
przy 
- definicja Cauchy’ego
Asymptota pozioma

(odpowiednio
).
Granica niewłaściwa w nieskończoności[edytuj | edytuj kod]
Funkcja
określona na przedziale
ma w nieskończoności granicę niewłaściwą
co zapisuje się
przy 
lub

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:
- definicja Heinego
- dla każdego ciągu
takiego, że dla każdego
oraz
ciąg wartości funkcji
dąży do
przy 
- definicja Cauchy’ego

Analogicznie definiuje się:
- granicę niewłaściwą
funkcji w 
- granicę niewłaściwą
funkcji w 
- granicę niewłaściwą
funkcji w 
- Jeśli funkcje
i
określone na zbiorze
mają granice właściwe
i
to:


gdy
oraz 
Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.
- Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że
nie oznacza, że istnieją granice
czy
W podanym przykładzie granica
nie istnieje, natomiast 
- Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.
- Jeśli funkcja
ma w punkcie
granicę
funkcja
ma w punkcie
granicę
przy czym
i
są odpowiednio punktami skupienia zbiorów
oraz
przy czym
dla każdego
z pewnego sąsiedztwa punktu
to 
Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

oraz
w pewnym sąsiedztwie 
oraz 
oraz 
oraz
w pewnym sąsiedztwie 
oraz
w pewnym sąsiedztwie 