Granice dolna i górna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja granicy górnej oraz dolnej. Ciąg zaznaczono kolorem niebieskim. Dwie czerwone krzywe dążą do granicy górnej i dolnej ciągu oznaczonych linią czarną kropkowaną.

Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.

Każdy ciąg ma granice dolną i górną. Jeżeli dany ciąg ma granicę, to granice dolna oraz górna są równe. Zachodzi także twierdzenie odwrotne: jeśli ciąg posiada granicę dolną oraz górną i są one równe, to posiada także granicę równą wspólnej wartości granic dolnej i górnej (na podstawie twierdzenia o trzech ciągach).

Definicja[edytuj]

Granica dolna i granica górna ciągu definiowane są odpowiednio wzorami

Należy mieć na uwadze, że oznaczenia granic dolnej i górnej stanowią jedną całość i nie składają się z oddzielnych oznaczeń oraz , czy , co widać w powyższych napisach, gdzie rozpościera się równo pod całym napisem lub , a nie jego pewną częścią. Korzysta się również z symboli na oznaczenie granicy dolnej oraz na oznaczenie granicy górnej.

Przykłady[edytuj]

Najprostszym przykładem jest

Istnieją ciągi, których granica dolna jest różna od granicy górnej, są one rozbieżne:

ale

Podobnie

ale

Własności[edytuj]

Dla dowolnych ciągów prawdziwe są następujące nierówności:

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Liliana Janicka: Wstęp do analizy matematycznej. Wrocław: Oficyna Wydawnicza „GiS”, 2004, s. 74÷77. ISBN 83-89020-36-X.