Grupa Coxetera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Grupą Coxetera - grupa z wyróżnionym układem generatorów \{ r_i : i \in I\}, którego elementy spełniają następujący układ relacji:

(r_i r_j)^{n_{ij}} = 1 \text{ dla } i, j \in I,

gdzie

n_{ii} = 1\;, czyli r_i^2 = 1 dla dowolnego i \in I,
 n_{ij} = n_{ji} \in \mathbb{Z} \cup \{\infty\} dla i, j \in I, i \neq j, przy czym n_{ij} \geqslant 2; dla n_{ij} = \infty nie istnieje relacja między r_i a r_j[1].

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Harolda Coxetera. Grupy tego rodzaju są rozważane w teorii grup dyskretnych jako uogólnienie grup odbić[2] generowanych przez odbicia względem hiperpowierzchni w przestrzeni euklidesowej. Każda grupa odbić jest grupą Coxetera, jeśli jej generatorami są odbicia względem hiperpowierzchni ograniczających wielościan fundamentalny.

Macierz (n_{ij}), gdzie i, j \in I nazywa się macierzą Coxetera danej grupy Coxetera. Macierz ta i sama grupa może być zadana za pomocą grafu Coxetera - grafu o wierzchołkach \{a_i: i \in I\}, w którym wierzchołki a_i i a_j są połączone (n_{ij} - 2)-krotną krawędzią, jeśli n_{ij} < \infty (w szczególności nie są w ogóle połączone, jeśli n_{ij} = 2) i są połączone grubą krawędzią, jeśli n_{ij} = \infty. Czasem zamiast łączyć wierzchołki grafu krawędziami wielokrotnymi, łączy się je jedną krawędzią ze znakiem n_{ij} nad nią.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli n_{ij} = 2, to mnożenie r_i przez r_j jest przemienne.
  • n_{ij} jest rzędem elementu r_i r_j.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każda grupa generowana przez dwa elementy rzędu 2 jest grupą Coxetera o macierzy postaci \left[\begin{smallmatrix}
2 & m \\
m & 2
\end{smallmatrix}\right]. Jej graf Coxetera:
Coxeter graph - two generators.svg
Coxeter graph of sym group.svg
  • Macierzą Coxetera grupy \mathfrak{S}_4 jest:
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 2\\
3 & 2 & 3\\
2 & 3 & 2
\end{bmatrix}
  • Grupa \mathit{PGL} = \mathit{GL}_2(\mathbb{Z})/\{\pm 1\} jest grupą Coxetera względem generatorów:
r_1 = 
\bigg\{\pm \begin{bmatrix}
- 1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\bigg\}, 

r_2 = 
\bigg\{\pm \begin{bmatrix}
- 1 & 0\\
1 & 1
\end{bmatrix}\bigg\}, 

r_3 = 
\bigg\{\pm \begin{bmatrix}
0 & - 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\bigg\}.
Jej graf Coxetera:
Coxeter graph of PGL(Z).svg

Skończone grupy Coxetera[edytuj | edytuj kod]

H. S. M. Coxeter w roku 1934 znalazł wszystkie grupy odbić w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej E^n\; i wykazał, że są one grupami Coxetera[3]. W następnej pracy[4] wykazał, że każda skończona grupa Coxetera jest izomorficzna z pewną grupą odbić w E^n\;, której elementy mają wspólny punkt stały. W ten sposób otrzymał klasyfikację grup skończonych Coxetera.

Grafy (diagramy) Coxetera skończonych grup Coxetera[5].

Nieskończone grupy Coxetera[edytuj | edytuj kod]

Wśród nieskończonych grup Coxetera można wyróżnić grupy paraboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić w przestrzeni euklidesowej E^n i grupy hiperboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić przestrzeni hiperbolicznej L^n, elementy których nie mają wspólnej hiperpłaszczyzny niezmienniczej o wymiarze mniejszym od n (w przypadku hiperbolicznym za hiperpłaszczyznę należy uważać również punkt w nieskończoności[6]).

Wszystkie paraboliczne grupy Coxetera zostały znalezione przez H. S. M. Coxetera, który udowodnił, że są to afiniczne grupy Weyla z teorii półprostych grup Liego.

Diagramy Coxetera afinicznych grup Weyla.

Związek z wielościanami[edytuj | edytuj kod]

Jeśli przestrzeń jest n-wymiarową sferą, przestrzenią euklidesową lub przestrzenią hiperboliczną, to grupa odbić jest generowana przez odbicia ri względem hiperpowierzchni Hi, ograniczających wielościan fundamentalny P tej grupy. Względem tego układu generatorów grupa odbić jest grupą Coxetera o relacjach zdefiniowanych następująco:

  1. jeśli ściany H_i \cap P\; i H_j \cap P\; przylegają do siebie i kąt między nimi jest równy \alpha_{ij}\;, to {r_i r_j}^{n_{ij}} = 1, gdzie n_{ij} = \frac{\pi}{\alpha_{ij}}\;,
  2. jeśli ściany H_i \cap P\; i H_j \cap P\; nie przylegają do siebie, to n_{ij} = \infty\;.

Wielościany fundamentalne grup Coxetera nazywają się wielościanami Coxetera. Wielościanami Coxetera można wypełnić przestrzeń. Mają więc związek z parkietażami i krystalografią.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej:
  • 2n-komórka foremna \{(x_1, \cdots, x_n): 0 \leqslant x_i \leqslant 1, i = 1, \cdots, n\}
  • (n + 1)-komórka (n-sympleks) \{(x_1, \cdots, x_n): 0 \leqslant x_1 \cdots \leqslant x_n \leqslant 1\}
  • Wielościany Coxetera w n-wymiarowej sferze:
  • n-wymiarowy sympleks foremny o boku \pi / 2
  • Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej:
  • k-wielokąt foremny o kącie \pi / m w przestrzeni 2-wymiarowej
  • dwunastościan foremny (dodekaedr) prostokątny w przestrzeni 3-wymiarowej
  • 120-ścian foremny prostokątny w przestrzeni 4-wymiarowej

Przypisy

  1. И. М. Виноградов (red.): Математическая энциклопедия. T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979, s. 944.
  2. Harold Scott MacDonald Coxeter. Discrete groups generated by reflections. „Ann. of Math.”. 35, s. 588-621, 1934. 
  3. Coxeter, Discrete groups generated by reflections, op. cit.
  4. Harold Scott MacDonald Coxeter. The groups determinated by the relations of the form \scriptstyle{R_i^2 = (R_iR_j)^{k_{ij}} = 1}. „J. London Math. Soc.”. 10, s. 21-25, 1935. 
  5. Nicolas Bourbaki: Groupes et algebres de Lie. T. XXXIV (rozdz. IV-VI). Paris: Hermann, 1968.(tłum. ros. 1972), s.241
  6. Математическая энциклопедия, op. cit., s. 945

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. И. М. Виноградов (red.): Математическая энциклопедия. T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979.
  2. Harold Scott MacDonald Coxeter. Discrete groups generated by reflections. „Ann. of Math.”. 35, s. 588-621, 1934. 
  3. Harold Scott MacDonald Coxeter. The groups determinated by the relations of the form \scriptstyle{R_i^2 = (R_iR_j)^{k_{ij}} = 1}. „J. London Math. Soc.”. 10, s. 21-25, 1935. 
  4. Harold Scott MacDonald Coxeter, William Moser: Generators and relationsfor discrete groups. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.
  5. Nicolas Bourbaki: Groupes et algebres de Lie. T. XXXIV (rozdz. IV-VI). Paris: Hermann, 1968.