Grupa Coxetera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupą Coxetera - grupa z wyróżnionym układem generatorów , którego elementy spełniają następujący układ relacji:

gdzie

, czyli dla dowolnego ,
dla , przy czym ; dla nie istnieje relacja między a [1].

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Harolda Coxetera. Grupy tego rodzaju są rozważane w teorii grup dyskretnych jako uogólnienie grup odbić[2] generowanych przez odbicia względem hiperpowierzchni w przestrzeni euklidesowej. Każda grupa odbić jest grupą Coxetera, jeśli jej generatorami są odbicia względem hiperpowierzchni ograniczających wielościan fundamentalny.

Macierz , gdzie nazywa się macierzą Coxetera danej grupy Coxetera. Macierz ta i sama grupa może być zadana za pomocą grafu Coxetera - grafu o wierzchołkach , w którym wierzchołki i są połączone -krotną krawędzią, jeśli (w szczególności nie są w ogóle połączone, jeśli ) i są połączone grubą krawędzią, jeśli . Czasem zamiast łączyć wierzchołki grafu krawędziami wielokrotnymi, łączy się je jedną krawędzią ze znakiem nad nią.

Własności[edytuj]

  • Jeśli , to mnożenie przez jest przemienne.
  • jest rzędem elementu .

Przykłady[edytuj]

  • Każda grupa generowana przez dwa elementy rzędu 2 jest grupą Coxetera o macierzy postaci . Jej graf Coxetera:
Coxeter graph - two generators.svg
  • Grupa symetryczna jest grupą Coxetera względem generatorów dla i = 1, 2, ... n - 1 ( jest transpozycją elementów i ). Jej graf Coxetera:
Coxeter graph of sym group.svg
  • Macierzą Coxetera grupy jest:
  • Grupa jest grupą Coxetera względem generatorów:
Jej graf Coxetera:
Coxeter graph of PGL(Z).svg

Skończone grupy Coxetera[edytuj]

H. S. M. Coxeter w roku 1934 znalazł wszystkie grupy odbić w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej i wykazał, że są one grupami Coxetera[3]. W następnej pracy[4] wykazał, że każda skończona grupa Coxetera jest izomorficzna z pewną grupą odbić w , której elementy mają wspólny punkt stały. W ten sposób otrzymał klasyfikację grup skończonych Coxetera.

Grafy (diagramy) Coxetera skończonych grup Coxetera[5].

Nieskończone grupy Coxetera[edytuj]

Wśród nieskończonych grup Coxetera można wyróżnić grupy paraboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić w przestrzeni euklidesowej i grupy hiperboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić przestrzeni hiperbolicznej , elementy których nie mają wspólnej hiperpłaszczyzny niezmienniczej o wymiarze mniejszym od n (w przypadku hiperbolicznym za hiperpłaszczyznę należy uważać również punkt w nieskończoności[6]).

Wszystkie paraboliczne grupy Coxetera zostały znalezione przez H. S. M. Coxetera, który udowodnił, że są to afiniczne grupy Weyla z teorii półprostych grup Liego.

Diagramy Coxetera afinicznych grup Weyla.

Związek z wielościanami[edytuj]

Jeśli przestrzeń jest n-wymiarową sferą, przestrzenią euklidesową lub przestrzenią hiperboliczną, to grupa odbić jest generowana przez odbicia ri względem hiperpowierzchni Hi, ograniczających wielościan fundamentalny P tej grupy. Względem tego układu generatorów grupa odbić jest grupą Coxetera o relacjach zdefiniowanych następująco:

  1. jeśli ściany i przylegają do siebie i kąt między nimi jest równy , to , gdzie ,
  2. jeśli ściany i nie przylegają do siebie, to .

Wielościany fundamentalne grup Coxetera nazywają się wielościanami Coxetera. Wielościanami Coxetera można wypełnić przestrzeń. Mają więc związek z parkietażami i krystalografią.

Przykłady[edytuj]

  • Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej:
    • 2n-komórka foremna
    • (n + 1)-komórka (n-sympleks)
  • Wielościany Coxetera w n-wymiarowej sferze:
    • n-wymiarowy sympleks foremny o boku
  • Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej:
    • k-wielokąt foremny o kącie w przestrzeni 2-wymiarowej
    • dwunastościan foremny (dodekaedr) prostokątny w przestrzeni 3-wymiarowej
    • 120-ścian foremny prostokątny w przestrzeni 4-wymiarowej

Przypisy

  1. И. М. Виноградов (red.): Математическая энциклопедия. T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979, s. 944.
  2. Harold Scott MacDonald Coxeter. Discrete groups generated by reflections. „Ann. of Math.”. 35, s. 588-621, 1934. 
  3. Coxeter, Discrete groups generated by reflections, op. cit.
  4. Harold Scott MacDonald Coxeter. The groups determinated by the relations of the form . „J. London Math. Soc.”. 10, s. 21-25, 1935. 
  5. Nicolas Bourbaki: Groupes et algebres de Lie. T. XXXIV (rozdz. IV-VI). Paris: Hermann, 1968.(tłum. ros. 1972), s.241
  6. Математическая энциклопедия, op. cit., s. 945

Bibliografia[edytuj]

  1. И. М. Виноградов (red.): Математическая энциклопедия. T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979.
  2. Harold Scott MacDonald Coxeter. Discrete groups generated by reflections. „Ann. of Math.”. 35, s. 588-621, 1934. 
  3. Harold Scott MacDonald Coxeter. The groups determinated by the relations of the form . „J. London Math. Soc.”. 10, s. 21-25, 1935. 
  4. Harold Scott MacDonald Coxeter, William Moser: Generators and relationsfor discrete groups. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.
  5. Nicolas Bourbaki: Groupes et algebres de Lie. T. XXXIV (rozdz. IV-VI). Paris: Hermann, 1968.