Grupa Mathieu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa Mathieu – jedna z pięciu skończonych grup prostych odkrytych i opisanych przez francuskiego matematyka Émile'a Léonarda Mathieu w jego pracach z lat 1861[1] i 1873[2]; były to pierwsze odkryte sporadyczne grupy proste. Zwykle oznacza się je symbolami i można o nich myśleć jako o grupach permutacji zbiorów odpowiednio 11, 12, 22, 23, czy 24 elementów (punktów).

Czasami, do oznaczenia podobnych grup (działających odpowiednio na zbiorach 7-, 8-, 9-, 10-, 19-, 20- i 21-punktowych), mianowicie stabilizatorów punktów w większych grupach, stosuje się symbole oraz Choć nie są sporadycznymi grupami prostymi, podgrupy te są istotne ze względu na to, iż mogą służyć do konstruowania większych[a]. Z drugiej strony John Conway zasugerował, że można rozszerzyć ten ciąg poprzez uogólnienie piętnastki, gdzie uzyskuje się podzbiór podgrupy symetrycznej zbioru 13-punktowego oznaczany [3][4]

Największa z grup, która zwiera wszystkie inne, zawiera się w grupie symetrii kodu binarnego Golaya, który ma zastosowania praktyczne. Co więcej, grupy Mathieu stanowią fascynację wielu badaczy teorii grup jako anomalie matematyczne.

Historia[edytuj]

Grupy proste definiuje się jako grupy bez nietrywialnych podgrup normalnych właściwych. Intuicyjnie oznacza to, że nie można ich rozbić na iloczyny mniejszych grup. Przez wiele lat dążono do sklasyfikowania grup prostych, aż wreszcie udało się to zrobić około 1980 roku. Grupy proste należą do wielu nieskończonych rodzin z wyjątkiem 26 grup, wśród których są także grupy Mathieu, nazywanych sporadycznymi grupami prostymi. Po opisaniu grup Mathieu nie udało się znaleźć nowych sporadycznych grup prostych aż do roku 1965, kiedy to odkryto grupę J1.

Grupy wielokrotnie przechodnie[edytuj]

Mathieu był zainteresowany opisaniem grup permutacji wielokrotnie przechodnich (wielokrotnie tranzytywnych), które zostaną teraz zdefiniowane. Dla liczby naturalnej k grupa permutacji działająca na zbiorze n-punktowym jest k-przechodnia (k-tranzytywna), jeżeli dla danych dwóch zbiorów punktów oraz o takiej własności, że są różne i są różne, istnieje element grupy który odwzorowuje na dla każdego Taka grupa nazywana jest ściśle k-przechodnią (ściśle k-tranzytywną), jeżeli istnieje wyłącznie jeden element o tej własności (tzn. działanie na k-tkach jest regularne, a nie tylko przechodnie).

Grupa jest 5-przechodnia, zaś jest grupą ściśle 5-przechodnią, przy czym pozostałe grupy Mathieu (proste lub nie) są podgrupami odpowiadającym stabilizatorom zbiorów -punktowych o odpowiednio niższej przechodniości (M23 jest 4-przechodnia, itd.).

Jedynymi grupami 4-przechodnimi są grupy symetryczne dla grupy alternujące dla i grupy Mathieu Pełny dowód wymaga klasyfikacji skończonych grup prostych, ale niektóre przypadki szczególne były znane przed jej opracowaniem.

Klasycznym wynikiem Jordana jest fakt, że grupy symetryczne i alternujące (odpowiednio stopni k i k − 2) oraz grupy i są jedynymi ściśle k-przechodnimi grupami permutacji dla k równych co najmniej 4.

Ważnymi przykładami grup wielokrotnie przechodnich są grupy 2-przechodnie i grupy Zassenhausa. Grupy Zassenhausa zawierają rzutową ogólną grupę liniową (ang. projective general linear group) prostej rzutowej nad ciałem skończonym, która jest ściśle 3-przechodnia (zob. dwustosunek) na zbiorze -elementowym.

Rząd i tabela przechodniości[edytuj]

Grupa Rząd Rząd (iloczyn) Rozkład rzędu Przechodniość Prostota
244 823 040 3· 16 · 20 · 21 · 22 · 23 · 24 210 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 5-przechodnia prosta
10 200 960 3 · 16 · 20 · 21 · 22 · 23 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 4-przechodnia prosta
443 520 3 · 16 · 20 · 21 · 22 27 · 32 · 5 · 7 · 11 3-przechodnia prosta
20 160 3 · 16 · 20 · 21 26 · 32 · 5 · 7 · 11 2-przechodnia prosta
960 3 · 16 · 20 26 · 3 · 5 1-przechodnia nieprosta
48 3 · 16 24 · 3 0-przechodnia[b] nieprosta
 
95 040 8 · 9 · 10 · 11 · 12 26 · 33 · 5 · 11 ściśle 5-przechodnia prosta
7920 8 · 9 · 10 · 11 24 · 32 · 5 · 11 ściśle 4-przechodnia prosta
720 8 · 9 · 10 24 · 32 · 5 ściśle 3-przechodnia nieprosta
72 8 · 9 23 · 32 ściśle 2-przechodnia nieprosta
8 8 23 ściśle 1-przechodnia nieprosta
1 1 1 ściśle 0-przechodnia nieprosta

Konstrukcje grup Mathieu[edytuj]

Grupy Mathieu mogą być skonstruowane na wiele sposobów.

Grupy permutacji[edytuj]

Grupa ma podgrupę prostą rzędu będącą zarazem podgrupą maksymalną. Podgrupa ta może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków jedenastoelementowego ciała Jeżeli oznacza zaś – nieskończoność, to dwoma standardowymi generatorami są oraz Trzeci generator, dający odwzorowuje element ciała na w zapisie permutacyjnym jest to Stabilizatorem czterech punktów jest grupa kwaternionów.

Podobnie jest maksymalna podgrupa prosta rzędu która może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków ciała Jeden generator dodaje jedynkę do każdego z elementów (nie poruszając punktu N w nieskończoności), tzn. jest to

drugim jest permutacja odwracająca porządek,

Trzeci generator, dający odwzorowuje element ciała na nieciekawe obliczenia pokazują, że jako permutacja jest to element

Konstrukcje te są cytowane za Carmichaelem[5]; Dixon i Mortimer przypisują permutacje Mathieu[6].

Grupy automorfizmów systemów Steinera[edytuj]

Istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera (geometria Witta) typu Grupa jest grupą automorfizmów tego systemu Steinera; tzn. zbiór permutacji, które przekształcają każdy blok na inny. Podgrupy i są zdefiniowane jako stabilizatory odpowiednio jednego oraz dwóch punktów.

Podobnie, istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera typu a grupa jest jej grupą automorfizmów. Podgrupa jest stabilizatorem punktu.

M24 z PSL(3,4)[edytuj]

Grupę można skonstruować wychodząc od jest to jedno z niezwykłych zjawisk matematyki.

Dobrym zaczątkiem dla jest , rzutowa specjalna grupa liniowa (ang. projective special linear group) przestrzeni trójwymiarowej nad skończonym ciałem 4-elementowym[7], oznaczana również która działa na płaszczyźnie rzutowej nad ciałem systemem typu oznaczany Jego 21 bloków nazywa się prostymi. Dowolne dwie proste przecinają się w jednym punkcie.

Grupa ma 168 podgrup prostych rzędu 360 i 360 podgrup prostych rzędu 168. W większej rzutowej ogólnej grupie liniowej (ang. projective general linear group) oba zbiory podgrup tworzą klasy sprzężoności, ale w oba zbiory rozpadają się na trzy klasy sprzężoności. Podgrupy mają odpowiednio orbity długości 6, nazywane hiperowalami, i orbity długości 7, nazywane podpłaszczyznami Fano. Zbiory te umożliwiają tworzenie nowych bloków dla większych systemów Steinera. jest normalna w indeksu 3. ma automorfizm zewnętrzny indukowany przez transponowanie elementów sprzężonych w (automorfizm ciała). Grupa może być więc rozszerzona do grupy rzutowych przekształceń półtoraliniowych, która jest rozszczepieniem przez grupę symetryczną Okazuje się, że można włożyć jako podgrupę maksymalną w [8]

Hiperowal nie ma takich trzech punktów, które byłyby współliniowe. Podpłaszczyzna Fano spełnia w podobny sposób odpowiednie warunki jednoznaczności.

Do należy dodać trzy nowe punkty i pozwolić automorfizmom ale nie automorfizmom na permutowanie nowych punktów. System typu powstaje przez dodanie jeszcze tylko jednego punktu do każdej z 21 prostych, a nowe bloki są 56 hiperowalami sprzężonymi ze względu na

System typu miałby 759 bloków lub oktad. Należy dołączyć do całości trzy nowe punkty do każdej prostej jeszcze jeden nowy punkt do podpłaszczyzn Fano w każdym ze 120 zbiorów i dołączyć odpowiednie pary nowych punktów do wszystkich hiperowali. Do pełnej liczby oktad brakuje 210. Brakujące oktady to podzbiory będące różnicami symetrycznymi par prostych. Istnieje wiele sposobów rozszerzenia grupy do

W12[edytuj]

Grupę W12 można skonstruować opierając się na geometrii afinicznej na przestrzeni liniowej system typu

Inną konstrukcją jest Kitten (dosł. kociak) R. T. Curtisa[9].

Programy komputerowe[edytuj]

Powstawały też warte uwagi programy komputerowe generujące systemy Steinera. Wprowadzenie do konstrukcji poprzez Miracle Octad Generator R. T. Curtisa i analog Conwaya dla miniMOG, można znaleźć w książce Conwaya i Sloane'a[10].

Grupa automorfizmów kodu Golaya[edytuj]

Grupa jest zarazem grupą permutacji automorfizmów kodu binarnego Golaya tzn. grupą permutacji współrzędnych odwzorowujących na siebie. Słowa kodowe odpowiadają w naturalny sposób podzbiorom zbioru 24-elementowego. Wspomniane podzbiory odpowiadające słowom kodowym o 8 lub 12 współrzędnych równych 1 nazywane są odpowiednio oktadami i dodekadami. Oktady są blokami systemu Steinera a kod binarny Holaya jest przestrzenią liniową nad ciałem dwuelementowym rozpinanym przez oktady systemu Steinera. Pełna grupa automorfizmów kodu binarnego ma rząd gdyż istnieje permutacji i zmian znaków. Można to przedstawić jako permutacja i odbijanie współrzędnych wierzchołków 24-wymiarowej kostki.

Podgrupy proste i mogą być zdefiniowane jako podgrupy odpowiednio jako stabilizatory: jednej współrzędnej, uporządkowanej pary współrzędnych, dodekady i dodekady wraz z jedną współrzędną.

Grupa jest indeksu w swojej grupie automorizmów. Jako podgrupa grupa działa na drugiej dodekadzie jako obraz automorfizmów zewnętrznych swojego działania na pierwszej dodekadzie. jest podgrupą lecz nie Ta reprezentacja ma orbity 11- i 12-elementowe. Grupa automorfizmów jest podgrupą maksymalną indeksu 1288.

Istnieje naturalny związek między grupami Mathieu i większymi grupami Conwaya, gdyż tak kod binarny Golaya, jak i krata Leecha leżą w przestrzeniach wymiaru 24. Grupy Conwaya można z kolei znaleźć w grupie Monster. Robert Griess nazywa 20 grup sporadycznych, które można znaleźć w grupie Monster szczęśliwą rodzinką (ang. Happy Family), a grupy Mathieu – pierwszym pokoleniem (ang. first generation)[11].

Dessins d'enfants[edytuj]

Grupy Mathieu można skonstruować poprzez dessins d'enfants, z w roli dessin o sugestywnej nazwie „Monsieur Mathieu”[12].

Symetrie wielościanów[edytuj]

Grupa M24 może być skonstruowana z symetrii kwadryki Kleina powiększonej o (niegeometryczną) symetrię jej zanurzenia jako szescioośmiościanu małego.

Grupę można skonstruować wychodząc od symetrii kwadryki Kleina (symetrie tesselacji powierzchni o genusie 3), mianowicie grupy która może być powiększona o dodatkową permutację. Permutację tę można opisać wychodząc od parkietażu kwadryki Kleina 20 trójkątami (o 24 wierzchołkach – zbiorze 24-punktowym, na którym działa grupa), następnie tworząc kwadraty z pewnych dwóch trójkątów, sześciokąty z 6 trójkątów, z dołączoną permutacją będącą „zamianą dwóch końców dwusiecznych kwadratów i sześciokątów”. Można to przedstawić przez kolorowanie trójkątów – odpowiadający kafelkowanie jest topologicznie, ale nie geometrycznie kafelkowaniem t0,1{4, 3, 3} i może być (wielościennie) zanurzony w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej jako szescioośmiościan mały (który również ma 24 wierzchołki)[13].

Własności[edytuj]

Grupy Mathieu mają fascynujące własności; grupy są wynikiem współwystępowania kilku anomalii w teorii grup.

Na przykład zawiera egzemplarz wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego grupy Grupa zawiera podgrupę izomorficzną z działającą w różny sposób na dwóch zbiorach 6-elementowych. Z kolei ma automorfizm zewnętrzny indeksu 2 i, jako podgrupa działa w różny sposób na dwóch zbiorach 12-elementowych.

Należy zauważyć jest rozszerzeniem nierozszczepiającym postaci (rozszerzenie grupy rzędu 2 przez A6), i odpowiednio może być oznaczana symbolem gdyż jest to podgrupa indeksu 2 grupy

Grupa liniowa ma izomorfizm wyjątkowy (ang. exceptional isomorphism) w grupę alternującą izomorfizm ten jest istotny ze względu na strukturę Stabilizator punktowy oktady jest grupą abelową rzędu 16 o wykładniku 2, a każda z jego inwolucji porusza wszystkie 16 punktów poza oktadę. Stabilizator oktady jest rozszczepieniem przez [14] Istnieje 759 (= 3 · 11 · 23) oktad. Stąd rząd wynosi 759 · 16 · 20160.

Reprezentacja macierzowa w GL(11, 2)[edytuj]

Kod binarny Golaya jest przestrzenią liniową wymiaru 12 nad Punkty stałe ze względu na M24 tworzą podprzestrzeń złożoną z dwóch wektorów, których współrzędne złożone są z samych 0 bądź 1. Przestrzeń ilorazowa, wymiaru 11, rzędu 211, może być skonstruowana jako zbiór podziałów 24 bitów na pary słów kodowych Golaya. Intrygującą rzeczą jest to, że liczba niezerowych wektorów, 211−1 = 2047, jest najmniejszą liczbą Mersenne’a o wykładniku pierwszym, która nie jest liczbą pierwszą i ma rozkład 23 · 89. Następnie dzieli

Grupa M23 również wymaga wymiaru 11.

Grupy M22, M12 oraz M11 mają reprezentację w GL(10, 2).

Podgrupa sekstetów grupy M24[edytuj]

Tetradą nazywa się dowolny zbiór 4 punktów systemu Steinera Oktada wyznaczona jest przez wybranie pięciu z pozostałych 20 punktów. Istnieje 5 możliwych oktad. Stąd dowolna tetrada wyznacza podział na 6 tetrad, nazywanych sekstetami, których stabilizator w nazywany jest grupą sekstetów.

Całkowita liczba tetrad to 24 · 23 · 22 · 21/4! = 23 · 22 · 21. Podzielenie tej liczby przez 6 daje liczbę sekstetów, 23 · 11 · 7 = 1771. Więcej, grupa sekstetów to podgrupa splotu rzędu 6! · (4!)6, którego jedynymi dzielnikami pierwszymi są 2, 3 oraz 5. Są to dzielniki pierwsze Dalsza analiza dałaby rząd grupy sekstetów, a stąd

Dogodnie jest umieścić 24 punkty w tablicy 6 × 4:

Wygodnie jest także użyć elementów ciała do numerowania wierszy: 0, 1, u, u2.

Grupa sekstetów ma abelową podgrupę normalną rzędu 64, izomorficzną z heksakodem, przestrzenią liniową długości 6 i wymiaru 3 nad Niezerowy element H wykonuje podwójną transpozycję w 4 lub 6 kolumnach. Jego działanie może być postrzegane jako dodawanie współrzędnych wektora do liczb w wierszach.

Grupa sekstetów jest rozszczepieniem H przez grupę (rozszerzenie stem, ang. stem extension). Poniżej znajduje się przypadek w grupach Mathieu, gdzie grupa prosta (A6) jest podilorazem, ale nie podgrupą. jest normalizatorem w podgrupy generowanej przez

który może być interpretowany jako mnożenie liczb w rzędach przez u2. Podgrupa jest centralizatorem Generatorami są:

(obrót trzech pierwszych kolumn),
(iloczyn dwóch powyższych),
(obrót trzech ostatnich kolumn).

Parzysta permutacja kolumn, np. generuje

Grupa jest izomorficzna z podgrupą której obraz w został opisany wyżej jako grupa hiperowali.

Aplet Moggie ma funkcję wyświetlania sekstetów w kolorze.

Struktura podgrup[edytuj]

Grupa M24 zawiera nieabelowa podgrupy proste 13 typów izomorfizmów: pięć klas A5, cztery klasy PSL(3,2), dwie klasy A6, dwie klasy PSL(2,11), po jednej klasie A7, PSL(2,23), M11, PSL(3,4), A8, M12, M22, M23 oraz M24.

Podgrupy maksymalne M24[edytuj]

Robert T. Curtis przedstawił pełny opis maksymalnych podgrup grupy M24 w 1977[15], co błędnie zaanonsowano wcześniej w 1972 roku[16][17].

Lista przedstawia się następująco:[8]

  • M23, rząd 10 200 960,
  • M22:2, rząd 887 040, orbity 2- i 22-elementowe,
  • 24:A8, rząd 322 560, orbity 8- i 16-elementowe: grupa oktad
  • M12:2, rząd 190 080, przechodnia i imprymitywna: grupa dodekad
Egzemplarz M12 działający w inny sposób na dwóch zbiorach 12-elementowych, odzwierciedlający automorfizm zewnętrzny M12
  • 26:(3.S6), rząd 138 240: grupa sekstetów (zob. wyżej)
  • PSL(3,4):S3, rząd 120 960, orbity 3- i 21-elementowe
  • 26:(PSL(3,2) × S3), rząd 64 512, przechodnia i imprymitywna: grupa trójek (ang. trio group)
Stabilizator rozbicia na 3 oktady
  • PSL(2,23), rząd 6 072: podwójnie przechodnie
  • Grupa ósemkowa, rząd 168, prosta, przechodnia i imprymitywna, 8 bloków trójelementowych
Ostatnia znaleziona podgrupa maksymalna M24.
7-elementowe podzbiory tej grupy dzielą się na 2 klasy sprzężoności zbiorów 24-elementowych.

Podgrupy maksymalne M23[edytuj]

  • M22, rząd 443 520
  • PSL(3,4):2, rząd 40 320, orbity 21- i 2- elementowe
  • 24:A7, rząd 40 320, orbity 7- i 16-elementowe
Stabilizator bloku W23
  • A8, rząd 20 160, orbity 8- i 15-elementowe
  • M11, rząd 7 920, orbity 11- i 12-elementowe
  • (24:A5):S3 lub M20:S3, rząd 5 760, orbity 3- i 20-elementowe (5 bloków 4-elementowych)
Jednopunktowy stablizator grupy sekstetów
  • 23:11, rząd 253, regularna

Podgrupy maksymalne M22[edytuj]

Nie istnieją podgrupy właściwe przechodnie na całym 22-elementowym zbiorze.

  • PSL(3,4) lub M21, rząd 20160: jednopunktowy stabilizator
  • 24:A6, rząd 5760, orbity 6- i 16-elementowe
Stabilizator bloku W22
  • A7, rząd 2520, orbity 7- i 15-elementowe
  • A7, orbity 7- i 15-elementowe
  • 24:S5, rząd 1920, orbity 2- i 20-elementowe (5 bloków 4-elementowych)
2-punktowy stabilizator w grupie sekstetów
  • 23:PSL(3,2), rząd 1344, orbity 8- i 14-elementowe
  • M10, rząd 720, orbity 10- i 12-elementowe (2 bloki 6-elementowe)
Jednopunktowy stabilizator M11 (punkt w orbicie 11-elementowej)
nierozszczepione rozszerzenie postaci A6.2
  • PSL(2,11), rząd 660, dwie orbity 11-elementowe
Kolejny jednopunktowy stabilizator M11 (punkt w orbicie 12-elementowej)

Podgrupy maksymalne M21[edytuj]

Nie istnieją podgrupy właściwe przechodnie na całym 21-elementowym zbiorze.

  • 24:A5 lub M20, rząd 960: stabilizator jednopunktowy
Imprymitywna na 5 blokach 4-elementowych
  • 24:A5, transpozycja M20, orbity 5- i 16-elementowe
  • A6, rząd 360, orbity 6- i 15-elementowe: grupa hiperowali
  • A6, orbity 6- i 15-elementowe
  • A6, orbity 6- i 15-elementowe
  • PSL(3,2), rząd 168, orbity 7- i 14—elementowe: grupa podpłaszczyzny Fano
  • PSL(3,2), orbity 7- i 14-elementowe
  • PSL(3,2), orbity 7- i 14-elementowe
  • 32:Q lub M9, rząd 72, orbity 9- i 12-elementowe

Podgrupy maksymalne M12[edytuj]

Istnieje 11 klas sprzężoności podgrup maksymalnych, 6 występujących w automorficznych parach.

  • M11, rząd 7920, stopień 11
  • M11, stopień 12
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • S6:2, rząd 1440, imprymitywna i przechodnia, 2 bloki 6-elementowe
Przykład wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego S6
  • M10.2, rząd 1440, orbity 2- i 10-elementowe
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • PSL(2,11), rząd 660, podwójnie przechodnia na zbiorze 12-punktowym
  • 32:(2.S4), rząd 432, orbity 3- i 9-elementowe
Izomorficzna z grupą afiniczną na przestrzeni C3 × C3.
  • 32:(2.S4), imprymitywna na 4 zbiorach 3-elementowych
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • S5 × 2, rząd 240, podwójnie imprymitywna, 6 na 2
Centralizator sześciokrotnej transpozycji
  • Q:S4, rząd 192, orbity 4- i 8-elementowe
Centralizator poczwórnej transpozycji
  • 42:(2 × S3), rząd 192, imprymitywna na 3 zbiorach 4-elementowych
  • A4 × S3, rząd 72, podwójnie imprymitywna, 4 na 3

Podgrupy maksymalne M11[edytuj]

Istnieje 5 klas sprzężoności podgrup maksymalnych

  • M10, rząd 720, jednopunktowy stabilizator w reprezentacji stopnia 11
  • PSL(2,11), rząd 660, jednopunktowy stabilizator w reprezentacji stopnia 12
  • M9:2, rząd 144, stabilizator rozbić 9- i 2-elementowego.
  • S5, rząd 120, orbity 5- i 6-elementowe
Stabilizator bloku w systemie Steinera S(4,5,11)
  • Q:S3, rząd 48, orbity 8- i 3-elementowe
Centralizator poczwórnej transpozycji
Izomorficzna z GL(2,3).

Liczba elementów według rzędu[edytuj]

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M11 wynosi 11. Rzędy i rozmiary klas sprzężoności można znaleźć w ATLASie[18].

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 165 = 3 · 5 · 11 1 klasa
3 = 3 440 = 23 · 5 · 11 1 klasa
4 = 22 990 = 2 · 32 · 5 · 11 1 klasa
5 = 5 1584 = 24 · 32 · 11 1 klasa
6 = 2 · 3 1320 = 23 · 3 · 5 · 11 1 klasa
8 = 23 1980 = 22 · 32 · 5 · 11 2 klasy (równoważne potęgowo)
11 = 11 1440 = 25 · 32 · 5 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M12 wynosi 11. Rzędy i rozmiary klas sprzężoności można znaleźć w ATLASie[19].

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 891 = 34 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
3 = 3 4400 = 24 · 52 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
4 = 22 5940 = 22 · 33 · 5 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
5 = 5 9504 = 25 · 33 · 11 1 klasa
6 = 2 · 3 23 760 = 24 · 33 · 5 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
8 = 23 23 760 = 24 · 33 · 5 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
10 = 2 · 5 9504 = 25 · 33 · 11 1 klasa
11 = 11 17 280 = 27 · 33 · 5 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M22 wynosi 11.

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 1155 = 3 · 5 · 7 · 11 1 klasa
3 = 3 12 320 = 25 · 5 · 7 · 11 1 klasa
4 = 22 13 860 = 22 · 32 · 5 · 7 · 11 1 klasa
27 720 = 23 · 32 · 5 · 7 · 11 1 klasa
5 = 5 88 704 = 27 · 32 · 7 · 11 1 klasa
6 = 2 · 3 36 960 = 25 · 3 · 5 · 7 · 11 1 klasa
7 = 7 126 720 = 28 · 32 · 5 · 11 2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23 55 440 = 24 · 32 · 5 · 7 · 11 1 klasa
11 = 11 80 640 = 28 · 32 · 5 · 7 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M23 wynosi 23.

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 3795 = 3 · 5 · 11 · 23 1 klasa
3 = 3 56 672 = 25 · 7 · 11 · 23 1 klasa
4 = 22 318 780 = 22 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 1 klasa
5 = 5 680 064 = 27 · 3 · 7 · 11 · 23 1 klasa
6 = 2 · 3 850 080 = 25 · 3 · 5 · 7 · 11 · 23 1 klasa
7 = 7 1 457 280 = 27 · 32 · 5 · 11 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23 1 275 120 = 24 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 1 klasa
11 = 11 1 854 720 = 28 · 32 · 5 · 7 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
14 = 2 · 7 1 457 280 = 27 · 32 · 5 · 11 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
15 = 3 · 5 1 360 128 = 28 · 3 · 7 · 11 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
23 = 23 887 040 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M24 wynosi 23. Jest 26 klas sprzężoności. Zachodzi intrygująca zbieżność z liczbą 26 sporadycznych grup prostych. Grupa M24 zdaje się być szczególna, nawet jak na grupę sporadyczną, być może istnieje ciekawe połączenie tych faktów.

Rząd Liczba elementów Struktura cykli i sprzężoność
1 = 1 1 1 klasa
2 = 2 11 385 = 32 · 5 · 11 · 23 28, 1 klasa
31 878 = 2 · 32 · 7 · 11 · 23 212, 1 klasa
3 = 3 226 688 = 27 · 7 · 11 · 23 36, 1 klasa
485 760 = 27 · 3 · 5 · 11 · 23 38, 1 klasa
4 = 22 637 560 = 23 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23

2444, 1 klasa

1 912 680 = 23 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 2244, 1 klasa
2 550 240 = 25 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 46, 1 klasa
5 = 5 4 080 384 = 28 · 33 · 7 · 11 · 23 54, 1 klasa
6 = 2 · 3 10 200 960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 223262, 1 klasa
10 200 960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 2444, 1 klasa
7 = 7 11 658 240 = 210 · 32 · 5 · 11 · 23 73, 2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23 15 301 440 = 26 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 2·4·82, 1 klasa
10 = 2 · 5 12 241 152 = 28 · 33 · 7 · 11 · 23 22102, 1 klasa
11 = 11 22 256 640 = 210 · 33 · 5 · 7 · 23 112, 1 klasa
12 = 22 · 3 20 401 920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 2 ·4·6·12, 1 klasa
20 401 920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 122, 1 klasa
14 = 2 · 7 34 974 720 = 210 · 33 · 5 · 11 · 23 2·7·14, 2 klasy (równoważne potęgowo)
15 = 3 · 5 32 643 072 = 211 · 32 · 7 · 11 · 23 3·5·15, 2 klasy (równoważne potęgowo)
21 = 3 · 7 23 316 480 = 211 · 32 · 5 · 11 · 23 3·21, 2 klasy (równoważne potęgowo)
23 = 23 21 288 960 = 211 · 33 · 5 · 7 · 11 23, 2 klasy (równoważne potęgowo)

Uwagi[edytuj]

  1. jest grupą trywialną, zaś nie działa przechodnio na zbiorze 19-punktowym i 19 nie dzieli jej rzędu, przez co ciąg ten nie może być dalej rozszerzany w dół.
  2. działa nietrywialnie, lecz nieprzechodnio na zbiorze 19-punktowym i ma rząd ponadto W istocie, ma 2 orbity: jedną rzędu 16, jedną rzędu 3 (2-podgrupa Sylowa działa regularnie na zbiorze 16-punktowym ustalając pozostałe 3, podczas gdy 3-podgrupa Sylowa permutuje 3 punkty ustalając orbitę rzędu 16). Szczegóły w C. Choi. On Subgroups of M24. I: Stabilizers of Subsets. „Transactions of the American Mathematical Society”, s. 1–27, May 1972a. American Mathematical Society. DOI: 10.2307/1996123. JSTOR 1996123. ; s. 4

Przypisy

  1. Émile Léonard Mathieu, Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables J. Math. Pures Appl. (Liouville) (2) VI, 1861, ss. 241-323
  2. E. Mathieu, Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités, Liouville Journ., (2) XVIII., 1873, ss. 25-47
  3. John H. Conway, „Graphs and Groups and M13”, uwagi z nowojorskiego 14. dnia teorii grafów (1987), ss. 18–29.
  4. John Horton Conway, Noam D. Elkies, Jeremy L. Martin. The Mathieu group M12 and its pseudogroup extension M13. „Experimental Mathematics”, s. 223–236, 2006. ISSN 1058-6458. MR2253008. 
  5. Carmichael, Robert D. Groups of Finite Order, Dover (1937, reprint 1956), ss. 151, 164, 263.
  6. John D. Dixon i Brian Mortimer Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), s. 209.
  7. John D. Dixon i Brian Mortimer Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), ss. 192-205
  8. a b R. L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998, s. 55
  9. R. T. Curtis The Steiner System S(5,6,12), the Mathieu Group M12 and the 'Kitten' , Computational Group Theory, Academic Press, Londyn, 1984
  10. John Horton Conway; Sloane N.J.A. Sphere Packings, Lattices and Groups: v. 290 (Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften.) Springer Verlag. ISBN 0-387-98585-9
  11. R. L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998.
  12. Monsieur Mathieu. 1 marca 2007..
  13. David A. Richter: How to Make the Mathieu Group M24. [dostęp 2010-04-15].
  14. Thomas M. Thompson: From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups, Carus Mathematical Monographs, Mathematical Association of America, 1983, ss. 197-208.
  15. R. T. Curtis The maximal subgroups of M24. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 81 (1977) 185-192
  16. C. Choi. On Subgroups of M24. II: the Maximal Subgroups of M24. „Transactions of the American Mathematical Society”, s. 29–47, May 1972b. American Mathematical Society. DOI: 10.2307/1996124. JSTOR 1996124. 
  17. R. L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998, s. 54
  18. ATLAS: Grupa Mathieu M11
  19. ATLAS: Grupa Mathieu M12

Bibliografia[edytuj]

  • R. T. Curtis A new combinatorial approach to M24. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 79 (1976) 25-42.
  • John Horton Conway; R. T. Curtis; Simon P. Norton; R.A. Parker; Robert Arnott Wilson (1985). Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press. ISBN 0-19-853199-0
  • Mark Ronan „Symmetry and the Monster”, Oxford University Press (2006) ISBN 0-19-280722-6 (wprowadzenie dla laika opisującego grupy Mathieu w kontekście historycznym)

Linki zewnętrzne[edytuj]