Grupa Prüfera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
2-grupa Prüfera.

Grupa Prüfera, p-grupa Prüfera a. grupa p-quasicykliczna – dla ustalonej liczy pierwszej p, wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) grupa torsyjna, w której każdy niezerowy element ma p pierwiastków p-tego stopnia. Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Prüfera.

  • p-grupa Prüfera może być reprezentowana jako podgrupa grupy okręgu jednostkowego jako zbiór wszystkich możliwych pierwiastków z jedynki stopnia przy przebiegającym wszystkie nieujemne liczby całkowite:
  • Z drugiej strony p-grupę Prüfera można postrzegać jako p-podgrupę Sylowa grupy składającą się ze wszystkich elementów rzędu wyrażającego się jako potęga
  • Istnieje następująca prezentacja p-grupy Prüfera (w zapisie addytywnym):
  • p-grupa Prüfera jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) nieskończoną p-grupą, która jest grupą lokalnie cykliczna (dowolny podzbiór skończony grupy generuje grupę cykliczną). Innymi słowy p-grupa jest p-grupą Prüfera wtedy i tylko wtedy, gdy jej każda podgrupa właściwa jest cykliczna oraz dla każdej liczby naturalnej istnieje w niej podgrupa rzędu
  • Jako -moduł p-grupa Prüfera jest modułem artinowskim, lecz nie noetherowskim; podobnie jako grupa: jest ona artinowska, ale nie noetherowska (podgrupy grupy abelowej są abelowe i pokrywają się z odpowiednimi podmodułami tej grupy traktowanej jako -moduł). Ten fakt może służyć jako kontrprzykład na to, iż nie każdy moduł artinowski jest zarazem noetherowski (choć każdy pierścień artinowski jest noetherowski).

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Przypisy

  1. D. L. Armacost, W. L. Armacost, On p-thetic groups, Pacific J. Math., 41, nr 2 (1972), ss. 295–301.