Grupa cykliczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Pierwiastki szóstego stopnia z jedynki tworzą grupę cykliczną z mnożeniem, gdzie z jest generatorem grupy.

Grupa cykliczna – grupa generowana przez jeden element nazywany jej generatorem[1] (grupa może mieć więcej niż jeden generator). Dowolny element tej grupy można uzyskać przez iterowanie (wielokrotne złożenie) działania grupowego na generatorze lub jego odwrotności; w notacji multiplikatywnej elementy są więc potęgami generatora, a w notacji addytywnej jego wielokrotnościami.

W szczególności dowolną grupę cykliczną można przedstawić jako

gdzie jest generatorem grupy W szczególności może się zdarzyć, iż będzie dla pewnego równe elementowi neutralnemu – w tym wypadku grupa zawiera skończenie wiele elementów; jeżeli taka sytuacja nie zachodzi, to grupa ma nieskończenie wiele (dokładnie: przeliczalnie wiele) elementów. Najmniejszą grupą cykliczną jest grupa trywialna zawierająca tylko jeden element; najmniejszą grupą niecykliczną jest grupa symetryczna (lub grupa diedralna o tej samej strukturze) rzędu

Grupy cykliczne należą do najprostszych i najlepiej poznanych grup: skończone i nieskończone grupy cykliczne mają tę samą strukturę co (odpowiednio) grupy addytywne dla (zob. arytmetyka modularna) oraz (zob. liczby całkowite). W szczególności są one „tworzywem” niektórych rodzajów grup przemiennych, zob. klasyfikacje grup przemiennych o skończonej liczbie elementów oraz grup przemiennych o skończonej liczbie generatorów.

Grupa multiplikatywna dowolnego ciała skończonego (tj. zbiór elementów odwracalnych, czyli niezerowych, z mnożeniem) jest grupą cykliczną.

Linki zewnętrzne[edytuj]

Przypisy

  1. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Cyclic group", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4