Grupa cykliczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Grupa cyklicznagrupa, której wszystkie elementy można wyrazić za pomocą potęg pewnego jej elementu. Równoważnie jest to grupa generowana przez jeden z jej elementów (elementów które generują tę grupę może być wiele).

Definicje[edytuj | edytuj kod]

  • Grupę G nazywamy cykliczną, gdy istnieje element g\in G taki, że dla każdego a\in G istnieje liczba całkowita k taka, że
a=g^k.
  • Element g z powyższej definicji nazywa się generatorem grupy G, a o grupie G mówi się, że jest generowana przez g, co zapisuje się
G=\langle g \rangle.
  • Jeśli generator g grupy G jest skończonego rzędu n, to grupę G nazywa się skończoną grupą cykliczną (rzędu n). Ma ona n elementów,
G = \{e, g, g^2, \dots, g^{n-1}\}.
  • Jeśli generator grupy ma rząd nieskończony, to grupę nazwiemy nieskończoną grupą cykliczną. Jest ona grupą przeliczalnie nieskończoną i lista
\langle\dots, g^{-2}, g^{-1}, g^0, g^1, g^2, \dots\rangle

podaje wszystkie elementy grupy bez powtórzeń.

  • Niech dany będzie dowolny element h danej grupy G. Podgrupę \langle h \rangle = H \leqslant G nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez ten element, ma ona rząd równy rzędowi elementu h.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Liczba elementów grupy cyklicznej zależy od rzędu generatora.
  • Niech G=\langle g\rangle będzie grupą cykliczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) G jest skończoną grupą cykliczną,
(b) dla pewnych różnych liczb całkowitych k, l \in \mathbb Z mamy, że g^k = g^l,
(c) dla pewnej liczby całkowitej k\in \mathbb Z mamy, że g^k = e,
(d) dla pewnej liczby naturalnej n, grupa G jest izomorficzna z grupą addytywną liczb całkowitych modulo n.
  • Niech G=\langle g\rangle będzie grupą cykliczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) G jest nieskończoną grupą cykliczną,
(b) dla każdych liczb całkowitych k<l mamy, że g^k\neq g^l,
(c) grupa G jest izomorficzna z addytywną grupą liczb całkowitych.

(W obu powyższych przypadkach izomorfizmem jest odwzorowanie przyporządkowujące elementowi wykładnik generatora, czyli g^i \mapsto i.)

  • Każda grupa cykliczna jest przemienna, gdyż g^m g^n =g^{n+m}= g^n g^m, dla dowolnych elementów g^m, g^n danej grupy cyklicznej.

Poniższe stwierdzenia są wnioskami z twierdzenia Lagrange’a:

  • Jeśli grupa nie ma podgrup właściwych (tzn. różnych od całej grupy i grupy złożonej z jej elementu neutralnego), to jest ona grupą cykliczną o rzędzie wyrażającym się liczbą pierwszą.
  • Jeśli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to grupa jest cykliczna.

Grupy o rzędzie wyrażającym się potęgą liczby pierwszej[edytuj | edytuj kod]

Grupy cykliczne o rzędzie będącym potęgą liczby pierwszej, oznaczane C_{p^m}, gdzie p jest pierwsza, a m naturalna są często rozważane w kontekście teorii grup przemiennych.

Każda skończona grupa przemienna G może być zapisana jako skończona suma prosta podgrup tego rodzaju:

G = \bigoplus_{1 \leqslant i \leqslant n}~C_{{p_i}^{m_i}}.

Przedstawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do porządku.

Grupy te wyróżniają się pośród skończenie generowanych grup przemiennych jako grupy torsyjne, które nie mogą być wyrażone jako suma prosta dwóch właściwych podgrup. Wraz z grupą liczb całkowitych, stanowią one „klocki” z których składają się skończenie generowane grupy abelowe.

Podgrupy cyklicznych grup o rzędzie będącym potęgą liczb pierwszych są uporządkowane liniowo przez relację zawierania. Jedynymi innymi grupami o tej własności są grupy quasicykliczne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]