Grupa cykliczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa cykliczna – grupa, która jest generowana przez jeden element[1]. Oznacza to, że składa się ona ze zbioru elementów zawierającego pojedyncze odwracalne działanie łączne i zawiera element g taki, że każdy inny element z tej grupy może być uzyskany poprzez powtórne zastosowanie działania grupowego lub jego odwrotności do elementu g. Każdy element może być zapisany jako potęga elementu g w notacji multyplikatywnej lub jako wielokrotność elementu g w notacji addytywnej. Ten element g jest nazywany generatorem grupy. Każda nieskończona grupa cykliczna jest izomorficzna w stosunku do grupy addytywnej Z, liczb całkowitych. Każda nieskończona grupa rzędu n jest izomorficzna w stosunku do grupy addytywnej Z/ nZ, liczby całkowite modulo n. Każda nieskończona grupa jest grupą abelową (oznacza to, że działanie tej grupy jest przemienne) i każda ostatecznie wytworzona grupa abelowa jest iloczynem (produktem) grup cyklicznych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Sześć szóstych złożony pierwiastek z jedynki tworzą grupę cykliczną pod mnożeniem. Z jest elementem prostym, ale z2nie jest, nieparzyste potęgi pola Z nie są potęgą z2.

Grupę  nazywamy cykliczną, gdy istnieje element g taki, że G = ⟨g⟩ = { gn | n jest liczbą całkowitą}. Wystarczający dowód na to, że zbiór G jest cykliczny jest wtedy, gdy dowolna grupa generowana przez element zawierający się w grupie jest podgrupą tej grupy, pokazująca że jedyna podgrupa grupy G która zawiera element g to sam zbiór G.

Na przykład, gdy G = { g0g1g2g3g4g5 } jest grupą rzędu 6, wówczas  g6 = g0   i G jest cykliczne, W rzeczywistości, G jest zasadniczo identyczne (to znaczy izomorficzne) jak zbiór  {0, 1, 2, 3, 4, 5} z dodawaniem modulo 6. Na przykład, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) odpowiada  g1 · g2 = g3, i 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) odpowiada  g2 · g5 = g7 = g1, i tak dalej. Izomorfizm χ może być zdefiniowany w następujący sposób  χ(gi) = i.

Nazwa "cykliczny" może wprowadzać w błąd: istnieje możliwość wygenerowania nieskończenie wiele elementów, które nie tworzą dosłownie cykli; co oznacza, że każdy gn  są różne. (Można założyć, iż istnieje jeden nieskończenie długi cykl). Grupa wygenerowana w ten sposób (na przykład, pierwsza grupa frieze, p1) jest nazywana nieskończenie cykliczną grupą i jest izomorficzna w stosunku do addytywnej grupy liczb całkowitych, (Z, +).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Dodawanie liczb całkowitych modulo[edytuj | edytuj kod]

Zbiór liczb całkowitych z działaniem dodawania, tworzy grupę. Jest to nieskończona grupa cykliczna, ponieważ wszystkie liczby całkowite mogą być zapisane jako skończona suma lub różnica kopii numeru 1. W tej grupie, 1 i -1 są jedynymi generatorami. Każda nieskończona grupa cykliczna jest izomorficzna w stosunku do tej grupy.

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej n, zbiór liczb całkowitych modulo n, ponownie z działaniem dodawania, tworzy skończoną grupę cykliczną, grupę Z/n. Element g jest generatorem tej grupy, jeżeli g jest względnie pierwsze w stosunku do n. Stąd, liczba różnych generatorów φ(n), gdzie φ jest funkcją Eulera (totient), funkcją która liczy ilość liczb modulo n, które są liczbami względnie pierwszymi dla n. Każda skończona grupa cykliczna jest izomorficzna dla grupy Z/n, gdzie n jest stopniem grupy.

Działania dodawania liczb całkowitych modulo n, użyte w celu oznaczenia grup cyklicznych, są zarówno działaniami dodawania pierścieni przemiennych, również oznaczających Z i Z/n. Jeżeli p jest liczbą pierwszą, wtedy  Z/p jest ciałem skończonym (Ciałem Galois) i jest zazwyczaj zapisywany jako Fp lub GF(p). Każde ciało z elementami p jest izomorficzne dla tego ciała. 

Mnożenie modulo[edytuj | edytuj kod]

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej, podzbiór liczb całkowitych modulo n, które są względnie pierwsze w stosunku do n, przy działaniu mnożenia, tworzy skończoną grupę, która dla wielu wartości n jest znów cykliczna. Jest to grupa pod mnożeniem modulo n i jest cykliczna kiedy tylko n wynosi 1, 2, 4 potęga liczby pierwszej lub druga potęga liczby pierwszej. (ciąg A033948 w OEIS – Encyklopedia ciągów liczb całkowitych w wersji on-line). Jej elementami są jednostki pierścienia  Z/nZ; występują ich φ(n), gdzie ponownie φ jest funkcją totient. Ta grupa jest zapisywana w następujący sposób  (Z/nZ)× . Na przykład  (Z/6Z)× zawiera tak jak jego elementy {1,5}; 6 jest dwukrotnie pierwsza, zatem jest to grupa cykliczna. Dla kontrastu, (Z/8Z)× (zawierająca elementy {1,3,5,7} jest grupą Kleina i nie jest cykliczna. Kiedy (Z/nZ)× jest cykliczna, każdy generator (Z/nZ)× jest nazywany pierwiastkiem prostym modulo n.

Grupa cykliczna (Z/pZ)× dla liczby pierwszej p jest również zapisywana w następujący sposób (Z/pZ)*, ponieważ składa się z niezerowych elementów skończonego ciała rzędu p. Mówiąc ogólniej, każdy skończony podzbiór grup multyplikatywnych jakiegokolwiek ciała jest cykliczny.

Symetrie obrotowe[edytuj | edytuj kod]

 Główny artykuł: Symetria obrotowa.

Zbiór symetrii obrotowej wielokąta tworzy skończoną grupę cykliczną[2]. Jeżeli istnieje n różnych sposobów mapowania wielokąta do siebie przez obrót (w tym zerowy obrót), to grupa ta jest izomorficzne Zn. W trzecim lub większym wymiarze mogą istnieć inne grupy skończone symetrii, które są cykliczne, ale nie tworzą zbioru obrotów wokół pojedynczej osi.

Grupa S1 wszystkich obrotów w kole (okręgu) jest nie cykliczna. W przeciwieństwie do nieskończonej grupy cyklicznej, to nie jest nawet przeliczalne. Istnieją również inne nieskończone grupy rotacyjne (takie jak zbiór obrotów przez kąty wymierne), które są przeliczalne, ale nie cykliczne.

Teoria Galois[edytuj | edytuj kod]

Pierwiastek n-tego stopnia z jedynki, mogą być traktowane jako liczby zespolone, której moc n-tego wynosi 1. Oznacza to, że jest on pierwiastkiem wielomianu xn − 1. Pierwiastki n-tego stopnia z jedynki tworzą grupę cykliczną rzędu n z mnożeniem[1]. Na przykład, wielomian 0 = z3 – 1 można rozłożyć na czynniki: (z − s0)(z − s1)(z − s2), gdzie s = ei/3; a zbiór {s0s1s2} tworzy grupę cykliczną z mnożeniem. Grupa Galois z rozszerzenia pola z liczb wymiernych generowanych przez pierwiastek n-tego stopnia z liczby jeden tworzy inną grupę. Jest izomorficznie multyplikatywną grupą modulo n, który jest rzędu φ(n) i jest cykliczny dla niektórych, ale nie wszystkich n.

Rozszerzenie pola nazywamy rozszerzeniem cyklicznym, jeśli jego grupa Galois jest grupą cykliczną. Grupa Galois każdego skończonego rozszerzenia skończonego ciała jest skończona i cykliczna, iteracyjnieendomorfizmem Frobeniusa jako jego generatora[3]. Odwrotnie, biorąc pod uwagę ograniczone ciało F i skończoną cykliczną grupę G, jest rozszerzeniem skończonego ciała F, którego grupa G jest grupą Galois[4].

Podgrupy i notacje[edytuj | edytuj kod]

Wszystkie podgrupy i grupy ilorazowe grup cyklicznych są cykliczne. W szczególności, wszystkie podgrupy Z są postaci mZ, gdzie m jest liczbą całkowitą ≥0. Wszystkie z tych podgrup są różne od siebie i oprócz grupy trywialnej (m = 0) wszystkie są izomorficzne do ZKrata podgrup Z jest izomorficzna z podwójną kratą liczb naturalnych sortowane według podzielności[5]. W szczególności, ponieważ liczby pierwsze są liczbami bez nietrywialnych dzielników, grupa cykliczna jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jego rząd (liczba jej elementów) jest liczbą pierwszą[6].

Ponieważ grupy cykliczne są abelowe, stąd są one często zapisywane addytywnie i oznaczamy je Zn z tożsamością pisaną 0. Jednak ten zapis może być problematyczny dla teoretyków, ponieważ liczba ta jest sprzeczna ze zwykłym zapisem p-adic pierścieni lub w lokalizacji ideału pierwszego. Te ilorazowe oznaczenia Z/nZ, Z/n, a Z/(n) stanowią standardowe rozwiązania alternatywne. Można za to zapisać grupę multyplikatywną, i oznaczyć ją Cn, gdzie n jest rzędem grup skończonych, a C jest nieskończoną grupą cykliczną[7], na przykład g2g4 = g1 w C5, natomiast 2 + 4 = 1 w Z / 5Z.

Wszystkie grupy ilorazowe Z są skończone, z wyjątkiem grupy trywialnej Z/{0} = Z/0Z. Dla każdego dodatniego dzielnika d z n, grupa ilorazowa Z/nZ ma dokładnie jedną podgrupę rzędu d, generowaną przez klasę reszt z n/d. Nie ma żadnych innych podgrup. Korzystanie z formalizmu grupy ilorazowej, Z/nZ to standardowa notacja dla addytywnej grupy cyklicznej n elementowej. W terminologii pierścienia, podgrupa nZ jest również ideałem (n), więc grupa ilorazowa może być zapisywana: Z/(n) lub Z/n, bez nadużywania notacji. Możliwości te nie są sprzeczne z notacją dla p -adic liczb całkowitych. Ta ostatnia forma jest bardzo często używana w nieformalnych obliczeniach; ma dodatkową zaletę, że czyta się ją w ten sam sposób, że grupa lub pierścień jest często opisywany ustnie w języku angielskim, "Zee mod pl".

Dodatkowe własności[edytuj | edytuj kod]

Każda grupa cykliczna jest abelowa[1]. Oznacza to, że działanie grupy jest przemienne: gh = hg (dla wszystkich g i h, w G). Jest to oczywiste dla grupy addytywnej liczby całkowitej i modularnej, ponieważ r + s ≡ s + r (mod n), i to w następujący sposób dla wszystkich grup cyklicznych, ponieważ wszystkie one są izomorficzne dla grupy generowanej przez operację dodawania. Dla skończonej grupy cyklicznej rzędu n, każdy element e z grupy en jest elementem identyfikującą grupę. To znowu następuje za pomocą izomorfizmu z dodawaniem modulo, ponieważ kn ≡ 0 (mod n), dla każdej liczby całkowitej k.

Jeśli d jest dzielnikiem od n, to liczba elementów w Z/n, która ma rząd d jest φ(d), a liczba elementów, których rząd dzieli d wynosi dokładnie d. Jeśli G jest skończoną grupą, w której dla każdego n> 0, G zawiera co najwyżej n elementów rzędu podzielnych przez n, wówczas G musi być cykliczna[8]. Kolejność elementu m grupy jest n/NWD(n,m).

Bezpośredni produkt z dwóch grup cyklicznych Z/n i Z/m jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy n i m są względnie pierwsze. Tak więc na przykład Z/12 jest bezpośrednim produktem Z/3 i Z/4, ale nie jest bezpośrednim produktem Z/6 i Z/2. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to jedyna grupa (do izomorfizmu) z p elementów jest Z / s. nazywana jest główną grupą cykliczną. Zasadnicze twierdzenie grup abelian stwierdza, że każda skończenie generowana grupa abelowa jest bezpośrednim produktem skończenie wielu skończonych i nieskończonych podstawowych cyklicznych grup cyklicznych. Liczba n jest nazywana ilością cykliczną jeśli ma tę właściwość, że Z/n jest jedyną grupą rzędu n, co prawda, dokładnie wtedy, gdy NWD(n, φ(n)) = 1.[9] Liczby cykliczne obejmują wszystkie liczby pierwsze, ale również kilka liczb złożonych, takich jak 15. Jednakże, z wyjątkiem 2, cykliczne są wszystkie numery nieparzyste. Liczby cykliczne to:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... (ciąg A003277 w OEIS)

W rzeczywistości, liczba n oznacza liczbę cykliczną, wtedy i tylko wtedy, NWD(n, φ(n)) = 1, gdzie φ jest także funkcją totient Eulera.

Definicja bezpośrednio zakłada, że grupy cykliczne mają grupę prezentacja C  = ⟨x |⟩ i C n = ⟨x | x n⟩ dla skończonego n. [10]

Obiekty powiązane[edytuj | edytuj kod]

Reprezentacje[edytuj | edytuj kod]

Teoria reprezentacji grup cyklicznych jest krytyczną podstawą przypadku dla teorii reprezentacji, która dotyczy bardziej ogólnych grup skończonych. W zespolonym przypadku reprezentacja grup cyklicznych rozkłada się na bezpośrednią sumę o charakterze linearnym, powodując że połączenie między teorią charakter a teorią reprezentacji jest wyraźne. W charakterystyce dodatniej przypadku, niezdolne do rozkładu reprezentacje grup cyklicznych tworzą model i indukcyjną podstawę dla teorii reprezentacji grup z cyklicznymi podgrupami Sylowa oraz bardziej ogólnie teorię reprezentacji bloków cyklicznych defektów. 

Wykres cykliczny[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Wykres cykliczny (algebra).

Wykres cyklu ilustruje różne cykle grupy i jest szczególnie użyteczny w wizualizacji struktury małych grup skończonych. Wykres cyklu grupy cyklicznej jest okrągłym wykresem, w kolejności grup jest równa liczbie węzłów. Jeden generator określa grupę jako kierunek ścieżki na wykresie, a odwrotna generatora definiuje przeciwny kierunek. Trywialne ścieżki (identyczności) mogą być sporządzone w pętli, ale zwykle są pomijane. Z2 jest czasami rysowane z dwoma zaokrąglonymi krawędziami jako multigraf[11]

Grupy cykliczne Zn, rzędu n, jako pojedynczy cykl na wykresie po prostu jako n -bok wielokąta z elementami na wierzchołkach. Grupa cykliczna Zn może być rozłożona na bezpośredni produkt Za x Zb gdzie n = ab, gdzie a i b są liczbami względnie pierwszymi (NWD(a, b) = 1).

Cykl wykresu rzędu 24
GroupDiagramMiniC1.svg GroupDiagramMiniC2.svg GroupDiagramMiniC3.svg GroupDiagramMiniC4.svg GroupDiagramMiniC5.svg GroupDiagramMiniC6.svg GroupDiagramMiniC7.svg GroupDiagramMiniC8.svg
Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6=Z3×Z2 Z7 Z8
GroupDiagramMiniC9.svg GroupDiagramMiniC10.svg GroupDiagramMiniC11.svg GroupDiagramMiniC12.svg GroupDiagramMiniC13.svg GroupDiagramMiniC14.svg GroupDiagramMiniC15.svg GroupDiagramMiniC16.svg
Z9 Z10=Z5×Z2 Z11 Z12=Z4×Z3 Z13 Z14=Z7×Z2 Z15=Z5×Z3 Z16
GroupDiagramMiniC17.svg GroupDiagramMiniC18.svg GroupDiagramMiniC19.svg GroupDiagramMiniC20.svg GroupDiagramMiniC21.svg GroupDiagramMiniC22.svg GroupDiagramMiniC23.svg GroupDiagramMiniC24.svg
Z17 Z18=Z9×Z2 Z19 Z20=Z5×Z4 Z21=Z7×Z3 Z22=Z11×Z2 Z23 Z24=Z8×Z3

Wykres Cayleya[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Wykres Circulant.
Wykers Paley rzędu 13, wykesr Circulant utworzony jako wykres Cayley Z/13 z generatorem zbioru {1,3,4}

Wykres Cayleya to wykres zdefiniowany z pary (G, S), gdzie G jest grupa a S jest zbiorem generatorów do grupy; ma wierzchołek dla każdego elementu grupy, a krawędź dla każdego produktu elementu z generatora. W przypadku skończonej grupy cyklicznej, z pojedynczego generatora wykres Cayley jest wykresem cyklu oraz dla nieskończonej cyklicznej grupy z jego generatora wykres Cayley jest podwójnym wykresem o nieskończonej drodze. Jednakże, wykresy Cayley mogą również być określone inne zbiory generatorów. Wykresy Cayley grup cyklicznych z dowolnymi generatorami zbiorów są nazywane circulant wykresów[12]. Wykresy te można przedstawić geometrycznie jako zbiór rozmieszczonych w jednakowych odstępach punktach na kole lub na jednej linii, z każdym punktem połączonym z sąsiadami z tego samego zbioru odległości jak każdego innego punktu. Są dokładnie takie wierzchołki-przechodnie wykresy, których grupa symetrii obejmuje przechodnią grupę cykliczną[13].

Endomorfizmy[edytuj | edytuj kod]

Pierścień endomorfizmu z grupą przemienną Z/nZ jest izomorficzna w stosunku do Z/nZ jako pierścień[14]. W tym izomorfizmie liczba r odpowiada endomorfizmowi Z/nZ, która odwzorowuje każdy element sumie r kopii. Jest to bijekcja wtedy i tylko wtedy, gdy r jest względnie pierwsze z n, więc grupa automorfizmu Z/nZ jest izomorficzna z grupą jednostek (Z/nZ)×[14].

Podobnie pierścień endomorfizmu grupy addytywnej Z jest izomorficzny z pierścieniem Z. Grupa automorfizmu jest izomorficzna z grupą jednostek pierścieni Z, i.e. ({−1, +1}, ×) ≅ C2.

Iloczyn tensora i grupy cyklicznej Homo[edytuj | edytuj kod]

Produkt tensora \mathbb{Z}/m{\mathbb{Z}} \otimes \mathbb{Z}/n{\mathbb{Z}} i grupę homomorfizmów Hom (\mathbb{Z}/m{\mathbb{Z}}, \mathbb{Z}/n{\mathbb{Z}}) można przedstawić jako izomorfizm \mathbb{Z}/NWD (m, n){\mathbb{Z}}.

Dla produktu tensora jest wynik ogólnego faktu R/I \otimes_R R/J \cong R/(I+J). Dla grupy Homo jest izomorficzny podgrupie \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} składający się z elementów kolejności dzielących m. Podgrupa jest cykliczna rzędu NWD(m,n), co kończy dowód.

Powiązane klasy grup[edytuj | edytuj kod]

Kilka innych klas grup zostały zdefiniowane przez ich stosunek do grup cyklicznych:

Wirtualne cykliczne grupy[edytuj | edytuj kod]

Grupę nazywamy wirtualnie cykliczną, jeśli zawiera podgrupę cykliczną skończonego indeksu (liczba warstw jaką ma podgrupa). Innymi słowy, każdy z elementów grupy wirtualnie cyklicznej może być otrzymany przez zastosowanie członu podgrupy cyklicznej do elementu w pewnym skończonym zbiorze. Każda grupa cykliczna jest wirtualnie cykliczna, podobnie jak każda grupa skończona. Nieskończona grupa jest wirtualnie cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie generowana i ma dokładnie dwa końce[15], przykładem takiej grupy jest produkt z Z/n i Z, w którym czynnik Z ma skończony indeks n. Każda podgrupa abelowa Gromow hiperbolicznej grupy jest wirtualnie cykliczna[16].

Lokalne grupy cykliczne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Lokalna grupa cykliczna.

Grupa lokalnie cykliczna to grupa, w której każdy skończony generator podgrupy jest cykliczny. Na przykład grupa addytywna z liczbami wymiernymi: każdy skończony zbiór liczb wymiernych jest zbiorem liczb całkowitych multyplikatywnym jedynym ułamkiem jednostki, odwrotnością najniższego wspólnego mianownika, i generuje jako podgrupa grupy cyklicznej całkowitą wielokrotność tego ułamka. Grupa jest lokalnie cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej kratą podgrup jest rozdzielająca krata[17].

Rząd grup cyklicznych[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Rząd grupy cyklicznej.

Cyklicznie uporządkowana grupa jest grupą wraz z cyklicznym rzędem zachowanym przez strukturę grupy. Każda grupa cykliczna może mieć strukturę jak cykliczna uporządkowana grupa, zgodnie z kolejnością liczb całkowitych (lub całkowitymi modulo rzędu grupy). Każda skończona podgrupa cyklicznie uporządkowanej grupy jest cykliczna[18].

Metacykliczne i policykliczne grupy[edytuj | edytuj kod]

Metacykliczne grupy to grupa zawierająca cykliczną, normalną podgrupę, którego iloraz jest również cykliczny[19]. Takie grupy obejmują grupy cykliczne, grupy dicykliczne i bezpośrednie produkty dwóch grup cyklicznych. Grupy policykliczne generują grupy metacykliczne przez umożliwienie więcej niż jednego poziomowi rozszerzanie grupy. Grupa jest policykliczna, gdy ma skończony zstępujący ciąg podgrup z których każda jest normalną poprzednią podgrupą z cyklicznym ilorazem, który kończy się na trywialnej grupie. Każda skończenie generowana grupa abelowa lub grupa nilpotentna jest policykliczna[20].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. a b c Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Cyclic group", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  2. Stewart, Ian; Golubitsky, Martin (2010), Fearful Symmetry: Is God a Geometer?, Courier Dover Publications, pp. 47–48, ISBN 9780486477589.
  3. Cox, David A. (2012), Galois Theory, Pure and Applied Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, Theorem 11.1.7, p. 294, doi:10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.
  4. Cox (2012), Corollary 11.1.8 and Theorem 11.1.9, p. 295.
  5. Aluffi, Paolo (2009), "6.4 Example: Subgroups of Cyclic Groups", Algebra, Chapter 0, Graduate Studies in Mathematics 104, American Mathematical Society, pp. 82–84, ISBN 9780821847817.
  6. Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the monster: the bridge connecting algebra, modular forms and physics, Cambridge monographs on mathematical physics, Cambridge University Press, p. 18, ISBN 978-0-521-83531-2, Zn is simple iff n is prime.
  7. The infinite cyclic group written multiplicatively may be written C (most common), C (the subscript being interpreted as the order of the group), or even C0 (to fit the statementCn ≅ Z/nZn ≥ 0, as given here).
  8. This implication remains true even if only prime values of n are considered. See Gallian, Joseph (2010), Contemporary Abstract Algebra (7th ed.), Cengage Learning, Exercise 43, p. 84, ISBN 9780547165097. (And observe that when n is prime, there is exactly one element whose order is a proper divisor of n, namely the identity.)
  9. Jungnickel, Dieter (1992), "On the uniqueness of the cyclic group of order n", American Mathematical Monthly 99 (6): 545–547, doi:10.2307/2324062, MR 1166004.
  10. Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980), Generators and Relations for Discrete Groups, New York: Springer-Verlag, p. 1, ISBN 0-387-09212-9.
  11. Weisstein, Eric W., "Cycle Graph", MathWorld.
  12. Alspach, Brian (1997), "Isomorphism and Cayley graphs on abelian groups", Graph symmetry (Montreal, PQ, 1996), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. 497, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 1–22, MR 1468786.
  13. Vilfred, V. (2004), "On circulant graphs", in Balakrishnan, R.; Sethuraman, G.; Wilson, Robin J., Graph Theory and its Applications (Anna University, Chennai, March 14–16, 2001), Alpha Science, pp. 34–36.
  14. a b Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), The Theory of Finite Groups: An Introduction, Universitext, Springer, p. 50, ISBN 9780387405100.
  15. Stallings, John (1970), "Groups of cohomological dimension one", Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968), Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 124–128, MR 0255689. See in particular p. 126: "If G has two ends, the explicit structure of G is well known: G is an extension of a finite group by either the infinite cyclic group or the infinite dihedral group."
  16. Alonso, J. M.; Brady, T.; Cooper, D.; Ferlini, V.; Lustig, M.; Mihalik, M.; Shapiro, M.; Short, H. (1991), "Notes on word hyperbolic groups", Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990) (PDF), River Edge, NJ: World Scientific, Corollary 3.6, MR 1170363.
  17. Ore, Øystein (1938), "Structures and group theory. II", Duke Mathematical Journal 4 (2): 247–269, doi:10.1215/S0012-7094-38-00419-3, MR 1546048.
  18. Fuchs, László (2011), Partially Ordered Algebraic Systems, International series of monographs in pure and applied mathematics 28, Courier Dover Publications, p. 63, ISBN 9780486483870.
  19. A. L. Shmel'kin (2001), "Metacyclic group", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
  20. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Polycyclic group", Encyclopedia of Mathematics,Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]