Grupa cykliczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa cykliczna – w matematyce grupa, która jest generowana przez jeden element[1].

Oznacza to, że składa się ona ze zbioru elementów zawierającego pojedyncze odwracalne działanie łączne i zawiera element g taki, że każdy inny element z tej grupy może być uzyskany poprzez powtórne zastosowanie działania grupowego lub jego odwrotności do elementu g. Każdy element może być zapisany jako potęga elementu g w notacji multyplikatywnej lub jako wielokrotność elementu g w notacji addytywnej. Ten element g jest nazywany generatorem grupy. Każda nieskończona grupa cykliczna jest izomorficzna grupą addytywną  Z, liczb całkowitych z dodawaniem. Każda skończona grupa rzędu n jest izomorficzna z grupą Zn tzn. liczby 1,...,n z dodawaniem modulo n. 

Definicja[edytuj]

Szóste pierwiastki z jedynki tworzą grupę cykliczną z mnożeniem. z jest generatorem grupy, ale z2 nie jest gdyż nieparzyste potęgi z nie są potęgą z2.

Grupę  nazywamy cykliczną, gdy istnieje element g taki, że G = ⟨g⟩ = { gn | n jest liczbą całkowitą}.

Na przykład, gdy G = { g0g1g2g3g4g5 } jest grupą rzędu 6, wówczas  g6 = g0   i G jest cykliczne. W rzeczywistości G jest zasadniczo identyczne (to znaczy izomorficzne) ze zbiorem  {0, 1, 2, 3, 4, 5} z dodawaniem modulo 6. Na przykład, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) odpowiada  g1 · g2 = g3, i 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) odpowiada  g2 · g5 = g7 = g1, i tak dalej. Izomorfizm χ może być zdefiniowany w następujący sposób  χ(gi) = i.

Nazwa "cykliczny" może wprowadzać w błąd: cykliczną jest też grupa addytywna liczb całkowitych, która nie zawiera "cykli".

Przykłady[edytuj]

Grupa Zn[edytuj]

Wybierzmy dowolne naturalne n > 1. Liczby 0, 1, ..., n z dodawaniem modulo n tworzą grupę. Grupa ta składa się z: 1, 1+1, 1+1+1, ... więc każdy element grupy "da się otrzymać" z jedynki, więc otrzymana struktura jest grupą cykliczną o n elementach.

Liczby całkowite z dodawaniem[edytuj]

Zbiór liczb całkowitych z działaniem dodawania tworzy grupę. Jest to nieskończona grupa cykliczna, ponieważ wszystkie liczby całkowite mogą być zapisane jako skończona suma lub różnica kopii numeru 1. W tej grupie, 1 i -1 są jedynymi generatorami. Każda nieskończona grupa cykliczna jest izomorficzna z tą grupą.

Ciała skończone[edytuj]

W dowolnym ciele skończonym zbiór niezerowych elementów z mnożeniem tworzy grupę cykliczną. Na przykład w ciele Z7 (liczby 0,1,2,3,4,5,6 z dodawaniem i mnożeniem modulo 7)

  • 31=3
  • 32=2
  • 33=6
  • 34=4
  • 35=5
  • 36=1

czyli kolejne potęgi liczby 3 tworzą wszystkie niezerowe elementy ciała Z7. Mnożenie w ciele jest grupą więc jest to grupa cykliczna.



Linki zewnętrzne[edytuj]


Przypisy

  1. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Cyclic group", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4