Grupa czwórkowa Kleina

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa abelowa. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Felixa Kleina, niemieckiego matematyka, który jako pierwszy opisał jej własności w wydanej w roku 1884 książce Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”).

Własności

Grupa Kleina, oznaczana zwykle symbolem $V_{4}$, $K_{4}$ lub $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$, jest jedną z dwóch grup czteroelementowych (drugą jest addytywna grupa klas reszt $\mathbb {Z} _{4}$). Każdy nietrywialny element jest rzędu dwa. Jest ona podgrupą normalną grupy alternującej $A_{4}$ (a więc zarazem podgrupą grupy permutacji $S_{4}$). Z teorii Galois wynika, że właśnie istnienie grupy Kleina zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki.

Izomorfizm

Grupa czwórkowa Kleina jest izomorficzna z

• iloczynem prostym $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$,
• grupą izometrii rombu (lub prostokąta) na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem); elementami tej grupy są identyczność, symetria względem osi pionowej, symetria względem osi poziomej i obrót o $180^{\circ }$,
• zgodnie z twierdzeniem Cayleya istnieje w $S_{4}$ podgrupa z nią izomorficzna, jest nią

  $\{\operatorname {id} ,\;(1,2)(3,4),\;(1,3)(2,4),\;(1,4)(2,3)\}$.

Tabela działań

Oznaczmy przez $a$ i $b$ obrót, i symetrię.

$\cdot$	$1$	$a$	$b$	$ab$
$1$	$1$	$a$	$b$	$ab$
$a$	$a$	$1$	$ab$	$b$
$b$	$b$	$ab$	$1$	$a$
$ab$	$ab$	$b$	$a$	$1$