Grupa czwórkowa Kleina

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa abelowa. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Felixa Kleina, niemieckiego matematyka, który jako pierwszy opisał jej własności w wydanej w roku 1884 książce Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”).

Własności

Grupa Kleina, oznaczana zwykle symbolem $V_{4}$$V_4$, $K_{4}$$K_{4}$ lub $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, jest jedną z dwóch grup czteroelementowych (drugą jest addytywna grupa klas reszt $\mathbb {Z} _{4}$$\mathbb {Z} _{4}$). Każdy nietrywialny element jest rzędu dwa. Jest ona podgrupą normalną grupy alternującej $A_{4}$$A_{4}$ (a więc zarazem podgrupą grupy permutacji $S_{4}$$S_{4}$). Z teorii Galois wynika, że właśnie istnienie grupy Kleina zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki.

Izomorfizm

Grupa czwórkowa Kleina jest izomorficzna z

• iloczynem prostym $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$,
• grupą izometrii rombu (lub prostokąta) na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem); elementami tej grupy są identyczność, symetria względem osi pionowej, symetria względem osi poziomej i obrót o $180^{\circ }$$180^{\circ }$,
• zgodnie z twierdzeniem Cayleya istnieje w $S_{4}$$S_{4}$ podgrupa z nią izomorficzna, jest nią

  $\{\operatorname {id} ,\;(1,2)(3,4),\;(1,3)(2,4),\;(1,4)(2,3)\}$$\{\operatorname {id} ,\;(1,2)(3,4),\;(1,3)(2,4),\;(1,4)(2,3)\}$.

Tabela działań

Oznaczmy przez $a$$a$ i $b$$b$ obrót, i symetrię.

$\cdot$$\cdot$	$1$$1$	$a$$a$	$b$$b$	$ab$$ab$
$1$$1$	$1$$1$	$a$$a$	$b$$b$	$ab$$ab$
$a$$a$	$a$$a$	$1$$1$	$ab$$ab$	$b$$b$
$b$$b$	$b$$b$	$ab$$ab$	$1$$1$	$a$$a$
$ab$$ab$	$ab$$ab$	$b$$b$	$a$$a$	$1$$1$