Grupa czwórkowa Kleina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa (abelowa). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami lub .

Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej rząd) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy Viergruppe (dosł. „czterogrupa”) nadanej przez Felixa Kleina, niemieckiego matematyka[1], który jako pierwszy opisał jej własności w wydanej w roku 1884 książce Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”).

Przyjmuje się, że grupa dwuścianu drugiego stopnia ma strukturę grupy Kleina.

Prezentacje[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: prezentacja grupy.

Grupę Kleina definiuje działanie określone na zbiorze czterech (różnych) elementów dane jak w tabeli niżej[2], gdzie element jest elementem neutralnym.


Tabliczka działania
grupy

Można ją opisać również za pomocą dwóch generatorów oraz trzech relacji , i ; innymi słowy grupa Kleina ma prezentację postaci

Wśród innych grup o tożsamej (tj. izomorficznej) z nią strukturze można wymienić:

  • iloczyn prosty (z dodawaniem modulo 2):
    ;
  • grupa symetrii rombu na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem):
    identyczność, symetria względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i obrót o ;
  • podgrupa permutacji grupy symetrycznej :
    .

Można ją również skonstruować na zbiorze z operacją mnożenia modulo 8. W tym wypadku odpowiada , opisuje i wreszcie to istotnie .

Własności[edytuj | edytuj kod]

Każdy jej nietrywialny element jest rzędu dwa[1] (nie jest więc grupą cykliczną).

Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie (tj. algebraicznie) różnych grup czteroelementowych; druga z nich jest grupą cykliczną.

Z teorii Galois wynika, że właśnie obecność grupy Kleina wśród podgrup grupy symetrycznej czwartego stopnia opisującej symetrie wielomianów czwartego stopnia jednej zmiennej zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki (zob. grupa rozwiązalna)[a].

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Grupa jest podgrupą normalną grupy alternującej przy czym jest abelowa. Ponadto podgrupa trywialna również jest normalna w przy czym także jest abelowa. Oznacza to, że ciąg (podnormalny) podgrup ma ilorazy abelowe, czyli podgrupa jest rozwiązalna. Tym bardziej rozwiązalna która stanowi przedłużenie wspomnianego ciągu, gdyż podobnie jak poprzednio i jest abelowa. Rozwiązalność wynika z zasadniczego twierdzenia teorii Galois.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.34
  2. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.33, Tabela 2.4.