Grupa czwórkowa Kleina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa (abelowa). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami lub .

Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej rząd) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy Viergruppe (dosł. „czterogrupa”) nadanej przez Felixa Kleina, niemieckiego matematyka[1], który jako pierwszy opisał jej własności w wydanej w roku 1884 książce Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”).

Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie różnych grup czteroelementowych; drugą jest czteroelementowa grupa cykliczna. Z teorii Galois wynika, że właśnie istnienie grupy Kleina zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Najprościej jest zdefiniować grupę z wykorzystaniem tablicy Cayleya.

Niech w zbiorze czterech elementów określone jest działanie wg poniższej tabeli:[2]

Zbiór z tym działaniem jest grupą multiplikatywną, zaś jest jej elementem neutralnym.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Każdy jej nietrywialny element jest rzędu dwa[1] (nie jest więc grupą cykliczą).

Definiuje się za jej pomocą grupę dwuścianu stopnia 2. Jest ona podgrupą normalną grupy alternującej (a więc zarazem podgrupą grupy permutacji ).

Niektóre grupy izomorficzne z grupą czwórkowa Kleina:

  • iloczyn prosty ,
  • grupa symetrii rombu na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem). Elementami tej grupy są identyczność, symetria względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i obrót o ,
  • podgrupa permutacji grupy symetrycznej :
    .

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.34
  2. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s.33, Tabela 2.4.