Grupa czwórkowa Kleina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa abelowa. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Felixa Kleina, niemieckiego matematyka[1], który jako pierwszy opisał jej własności w wydanej w roku 1884 książce Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Grupa Kleina, oznaczana zwykle symbolem V_4, K_4 lub \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2, jest jedną z dwóch grup czteroelementowych (drugą jest addytywna grupa klas reszt \mathbb Z_4). Każdy nietrywialny element jest rzędu dwa[1]. Jest ona podgrupą normalną grupy alternującej A_4 (a więc zarazem podgrupą grupy permutacji S_4). Z teorii Galois wynika, że właśnie istnienie grupy Kleina zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki.

Izomorfizm[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: izomorfizm.

Grupa czwórkowa Kleina jest izomorficzna z

Tabela działań[edytuj | edytuj kod]

Oznaczmy przez a i b obrót, i symetrię.

\cdot 1 a b ab
1 1 a b ab
a a 1 ab b
b b ab 1 a
ab ab b a 1

[2]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.34
  2. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.33, Tabela 2.4.