Grupa czwórkowa Kleina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa abelowa. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Felixa Kleina, niemieckiego matematyka[1], który jako pierwszy opisał jej własności w wydanej w roku 1884 książce Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”).

Własności[edytuj]

Grupa Kleina, oznaczana zwykle symbolem , lub , jest jedną z dwóch grup czteroelementowych (drugą jest addytywna grupa klas reszt ). Każdy nietrywialny element jest rzędu dwa[1]. Jest ona podgrupą normalną grupy alternującej (a więc zarazem podgrupą grupy permutacji ). Z teorii Galois wynika, że właśnie istnienie grupy Kleina zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki.

Izomorfizm[edytuj]

 Osobny artykuł: izomorfizm.

Grupa czwórkowa Kleina jest izomorficzna z

  • iloczynem prostym ,
  • grupą izometrii rombu (lub prostokąta) na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem); elementami tej grupy są identyczność, symetria względem osi pionowej, symetria względem osi poziomej i obrót o ,
  • zgodnie z twierdzeniem Cayleya istnieje w podgrupa z nią izomorficzna, jest nią
    .

Tabela działań[edytuj]

Oznaczmy przez i obrót, i symetrię.

[2]

Przypisy

  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.34
  2. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.33, Tabela 2.4.