Grupa czwórkowa Kleina

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa (abelowa). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami $V_{4}$ lub $K_{4}$.

Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej rząd) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy Viergruppe (dosł. „czterogrupa”) nadanej przez Felixa Kleina, niemieckiego matematyka, który jako pierwszy opisał jej własności w wydanej w roku 1884 książce Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”).

Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie różnych grup czteroelementowych; drugą jest czteroelementowa grupa cykliczna. Z teorii Galois wynika, że właśnie istnienie grupy Kleina zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki.

Definicja

Najprościej jest zdefiniować grupę z wykorzystaniem tablicy Cayleya.

Niech w zbiorze czterech elementów $\{e,a,b,c\}$ określone jest działanie wg poniższej tabeli:

$\cdot$	$e$	$a$	$b$	$c$
$e$	$e$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$e$	$c$	$b$
$b$	$b$	$c$	$e$	$a$
$c$	$c$	$b$	$a$	$e$

Zbiór z tym działaniem jest grupą multiplikatywną, zaś $e$ jest jej elementem neutralnym.

Własności

Każdy jej nietrywialny element jest rzędu dwa (nie jest więc grupą cykliczą).

Definiuje się za jej pomocą grupę dwuścianu $D_{2}$ stopnia 2. Jest ona podgrupą normalną grupy alternującej $A_{4}$ (a więc zarazem podgrupą grupy permutacji $S_{4}$).

Niektóre grupy izomorficzne z grupą czwórkowa Kleina:

• iloczyn prosty $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$,
• grupa symetrii rombu na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem). Elementami tej grupy są identyczność, symetria względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i obrót o $180^{\circ }$,
• podgrupa permutacji grupy symetrycznej $S_{4}$:

  $\{\operatorname {id} ,\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23)\}$.