Grupa czwórkowa Kleina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa (abelowa). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami lub

Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej rząd) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy Vierergruppe (dosł. „czterogrupa”, „grupa czwórkowa”) nadanej przez Felixa Kleina[1], który jako pierwszy opisał jej własności w pracy Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”) wydanej w 1884 roku[2].

Poza neutralnym wszystkie jej elementy są samoodwrotne, a każde dwa takie elementy dają w złożeniu pozostały. Przyjmuje się, że grupa dwuścianu drugiego stopnia ma strukturę grupy Kleina.

Prezentacje[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: prezentacja grupy.

Grupę Kleina definiuje działanie określone na zbiorze czterech (różnych) elementów dane jak w tabeli niżej[3], gdzie element jest elementem neutralnym.


Tabliczka działania
grupy

Można ją opisać również za pomocą dwóch generatorów oraz trzech relacji i innymi słowy grupa Kleina ma prezentację postaci

Wśród innych grup o tożsamej (tj. izomorficznej) z nią strukturze można wymienić (kolejne wymienione elementy odpowiadają odpowiednio wspomnianym na początku elementom ):

  • iloczyn prosty (z dodawaniem modulo 2):
  • grupa symetrii rombu na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem):
    identyczność, symetria względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i obrót o
  • podgrupa permutacji grupy symetrycznej

Można ją również skonstruować na zbiorze z operacją mnożenia modulo 8[a]. W tym wypadku odpowiada opisuje i wreszcie to istotnie

Własności[edytuj | edytuj kod]

Każdy jej nietrywialny element jest rzędu dwa[1] (nie jest więc grupą cykliczną[b]); grupa jest przemienna (abelowa), co można zauważyć w przedstawionej wyżej tabliczce działania[c].

Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie (tj. algebraicznie) różnych grup czteroelementowych[d]; druga z nich jest grupą cykliczną[b].

Z teorii Galois wynika, że właśnie obecność grupy Kleina wśród podgrup grupy symetrycznej czwartego stopnia opisującej symetrie wielomianów czwartego stopnia jednej zmiennej zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki (zob. grupa rozwiązalna)[e].

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Zob. podgrupa § Przykłady: Kryterium bycia podgrupą skończoną.
  2. a b Czteroelementowa grupa cykliczna zawiera element rzędu 4 będący jej generatorem.
  3. Przemienność działania w grupie Kleina można wywnioskować zaobserwowawszy, że tablica Cayleya jej działania jest symetryczna względem głównej przekątnej.
  4. Można się o tym przekonać wprost, rozpatrując wszystkie tabliczki działania dla czterech (różnych) elementów, które muszą być kwadratami łacińskimi (ze względu na własność skracania w grupie bądź jednoznaczność rozwiązań równań liniowych w grupie, por. grupa § Własności), przy czym wiersz i kolumna dla działania z elementem neutralnym są ustalone.
  5. Grupa jest podgrupą normalną grupy alternującej przy czym jest abelowa (jako cykliczna). Ponadto podgrupa trywialna również jest normalna w przy czym także jest abelowa. Oznacza to, że ciąg (podnormalny) podgrup ma ilorazy abelowe, czyli podgrupa jest rozwiązalna. Tym bardziej rozwiązalna która stanowi przedłużenie wspomnianego ciągu, gdyż podobnie jak poprzednio i jest abelowa. Rozwiązalność równań wynika z zasadniczego twierdzenia teorii Galois.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Gleichgewicht ↓, s. 34.
  2. Klein ↓, s. 12.
  3. Gleichgewicht ↓, tabela 2.4, s. 33.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]