Grupa czwórkowa Kleina
Spis treści
Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa (abelowa). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami lub .
Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej rząd) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy Viergruppe (dosł. „czterogrupa”) nadanej przez Felixa Kleina, niemieckiego matematyka[1], który jako pierwszy opisał jej własności w wydanej w roku 1884 książce Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”).
Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie różnych grup czteroelementowych; drugą jest czteroelementowa grupa cykliczna. Z teorii Galois wynika, że właśnie istnienie grupy Kleina zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki.
Definicja[edytuj | edytuj kod]
Najprościej jest zdefiniować grupę z wykorzystaniem tablicy Cayleya.
Niech w zbiorze czterech elementów określone jest działanie wg poniższej tabeli:[2]
Zbiór z tym działaniem jest grupą multiplikatywną, zaś jest jej elementem neutralnym.
Własności[edytuj | edytuj kod]
Każdy jej nietrywialny element jest rzędu dwa[1] (nie jest więc grupą cykliczą).
Definiuje się za jej pomocą grupę dwuścianu stopnia 2. Jest ona podgrupą normalną grupy alternującej (a więc zarazem podgrupą grupy permutacji ).
Niektóre grupy izomorficzne z grupą czwórkowa Kleina:
- iloczyn prosty ,
- grupa symetrii rombu na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem). Elementami tej grupy są identyczność, symetria względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i obrót o ,
- podgrupa permutacji grupy symetrycznej :
- .
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.34
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.33, Tabela 2.4.